حلاً لمعادلات التكامل الخطي (مسألة رياضيات)

الدالة $f(x) = ax + b$ والدالة $g(x) = 2x – 5$ حيث $a$ و $b$ هما ثوابت حقيقية. إذا كان صحيحًا أن $g(f(x)) = 3x + 4$ لكل $x$، فما هو قيمة $a + b$؟

لنبدأ بحساب $g(f(x))$ باستخدام تعريف الدالة $f$ و $g$:

$g(f(x)) = g(ax + b)$

ثم نستخدم قيمة $g(x)$ لحساب التعبير:

$g(ax + b) = 2(ax + b) – 5$

الآن، لأن $g(f(x))$ يُعطى بواسطة $3x + 4$، نقارن الطرفين ونحل للقيم المجهولة $a$ و $b$:

$2(ax + b) – 5 = 3x + 4$

نفترض أن هذا العرض صحيح لكل $x$، ونقارن معاملات $x$ والثوابت المستقلة من كلا الجهتين:

$2a = 3$ (للمعامل الخطي لـ $x$)

$2b – 5 = 4$ (للثابت)

نحل هاتين المعادلتين للعثور على قيم $a$ و $b$:

من المعادلة الأولى:
$a = \frac{3}{2}$

ثم نستخدم قيمة $a$ في المعادلة الثانية:
$2b – 5 = 4$

نحل لـ $b$:
$2b = 9$
$b = \frac{9}{2}$

الآن، نجمع القيم للحصول على $a + b$:
$a + b = \frac{3}{2} + \frac{9}{2} = \frac{12}{2} = 6$

إذا كانت $a + b = 6$.

لحل هذه المسألة، بدأنا باستخدام تعريف الدوال $f(x)$ و $g(x)$ وتعبيرهما الرياضي. الخطوة الأولى كانت حساب $g(f(x))$ بواسطة استبدال $f(x)$ في دالة $g(x)$:

$g(f(x)) = g(ax + b)$

ثم استخدمنا قيمة دالة $g(x)$ لحساب التعبير:

$g(ax + b) = 2(ax + b) – 5$

المرحلة التالية كانت مقارنة هذا التعبير بالتعبير المعطى $3x + 4$ وحل المعادلة:

$2(ax + b) – 5 = 3x + 4$

هذا يستند إلى فكرة أن القيمتين متساويتين لكل قيمة من $x$.

القوانين المستخدمة في الحل:

1. تعريف الدوال:

   • استخدمنا تعريف الدوال $f(x)$ و $g(x)$ لتحديد كيفية حسابها.

2. تكامل الدوال:

   • استخدمنا تعبيرًا يشمل تكامل دالة $g(x)$ وثوابتها.

3. حل المعادلات:

   • استخدمنا القدرة على حل المعادلات الخطية للعثور على قيم $a$ و $b$.

4. التعامل مع معاملات الدوال:

   • قمنا بمقارنة معاملات $x$ والثوابت المستقلة من الجهتين للوصول إلى قيم $a$ و $b$.

5. التعامل مع الأعداد الكسرية:

   • تم استخدام الكسور في حساب قيم $a$ و $b$.

6. الجمع والطرح:

   • تم استخدام الجمع والطرح للوصول إلى القيم النهائية $a + b$.

باستخدام هذه القوانين والخطوات، تمكنا من حل المسألة والوصول إلى قيمة $a + b$ بشكل دقيق.