حلاً لمعادلات التفاوت الأسي باستخدام اللوغاريتمات (مسألة رياضيات)

المعادلة المطروحة هي $7^{x+7} = 8^x$، ونرغب في التعبير عن الحل في شكل $x = \log_b X$. ما هو قيمة $b$؟
إذا كانت الإجابة على السؤال السابق هي $\frac{8}{7}$، فما هي قيمة المتغير غير المعلوم $X$؟

للبداية، لنقم بتحويل المعادلة المعطاة إلى شكل يسهل حساب اللوغاريتمات. نلاحظ أن $8$ يمكن تمثيله على أنه $2^3$، لذلك يمكن كتابة المعادلة على النحو التالي:
$7^{x+7} = (2^3)^x$

الآن، نستخدم خاصية قوانين الأسس لضرب الأسس للتحويل إلى شكل أكثر تناسقاً:
$7^{x+7} = 2^{3x}$

لتسهيل الحسابات، يمكننا تحويل الأس السابع في الجهة اليسرى إلى ضرب مباشر بالأس الخامس للـ$7$. وبالتالي، يمكن كتابة المعادلة على النحو التالي:
$7^x \times 7^7 = 2^{3x}$

الآن، يمكننا استخدام قاعدة الأسس للقوى لجمع الأسس في الطرف الأيسر:
$7^x \times 823543 = 2^{3x}$

الآن نقارن الأساسين في الجهتين. لدينا أساس $7$ في الطرف الأيسر وأساس $2$ في الطرف الأيمن. نريد توحيدهما، ونعلم أن $\log_b X = \frac{\log_c X}{\log_c b}$ ويمكننا استخدام أي أساس لللوغاريتم.

لذا، نقوم بتحويل الأساس في الطرف الأيسر إلى لوغاريتم قاعدي بالقسمة على لوغاريتم قاعدة الأساس في الطرف الأيمن:
$x \times \log_7 7 = \frac{3x \times \log_2 2}{\log_2 7}$

يمكن إلغاء اللوغاريتم الطبيعي على الطرف الأيمن لتبسيط المعادلة:
$x \times 1 = \frac{3x \times 1}{\log_2 7}$

الآن، يمكننا إزالة القسمة عن طريق ضرب الطرفين في $\log_2 7$:
$x \times \log_2 7 = 3x$

نقوم بتجميع المتغيرات في الطرف الأيمن وترتيب الأسس:
$(\log_2 7 – 3) x = 0$

الآن، نقوم بتحديد قيمة $x$ من خلال حساب النسبة بين اللوغاريتم والثابت:
$x = \frac{0}{\log_2 7 – 3}$

لاحظ أن المعادلة تحتوي على كسر بالمقام، ولكن القيمة الناتجة هي صفر، حيث تكون المعادلة تحقق الشرط $0 = 0$.

الآن، بما أننا نعلم أن $x = 0$، نستخدم هذه القيمة في المعادلة الأصلية لحساب قيمة $X$:
$X = 7^{x+7} = 7^7$

وبذلك نكون قد حسنا القيمة المطلوبة للمتغير $X$ وهي $7^7$.

لنقم بحل المعادلة $7^{x+7} = 8^x$ بالتفصيل، وسنقوم بتوضيح الخطوات والقوانين المستخدمة في الحل.

المعادلة الأصلية:
$7^{x+7} = 8^x$

التحولات:

1. نستخدم خاصية تمثيل القاعدة $8$ بواسطة $2^3$:
   $7^{x+7} = (2^3)^x$

2. نستخدم قاعدة قوانين الأسس للضرب:
   $7^{x+7} = 2^{3x}$

3. نكتب الأس المتكرر كضرب:
   $7^x \times 7^7 = 2^{3x}$

4. نحسب القيمة العددية لـ $7^7$:
   $7^x \times 823543 = 2^{3x}$

تحويل اللوغاريتمات:
5. نستخدم قاعدة اللوغاريتم لتوحيد الأساسات:
$x \times \log_7 7 = \frac{3x \times \log_2 2}{\log_2 7}$

6. نبسط اللوغاريتم في الطرف الأيمن:
   $x \times 1 = \frac{3x \times 1}{\log_2 7}$

7. نضرب الطرفين في $\log_2 7$ لإلغاء القسمة:
   $x \times \log_2 7 = 3x$

8. نجمع المتغيرات في الطرف الأيمن:
   $(\log_2 7 – 3) x = 0$

حل المعادلة:
9. نقوم بحساب القيمة المحتملة للمتغير $x$:
$x = \frac{0}{\log_2 7 – 3}$

10. نجد أن القيمة المحتملة لـ $x$ هي صفر.

حساب قيمة $X$:
11. نستخدم القيمة المحسوبة لـ $x$ في المعادلة الأصلية:
$X = 7^{x+7} = 7^7$

قوانين الرياضيات المستخدمة:

• قاعدة قوانين الأسس للضرب:
  $a^{m+n} = a^m \times a^n$

• قاعدة قوانين الأسس للأس:
  $(a^m)^n = a^{mn}$

• قاعدة اللوغاريتم لتوحيد الأساسات:
  $\log_b a^n = n \times \log_b a$

• قاعدة قوانين اللوغاريتم للقوى:
  $\log_b a^c = c \times \log_b a$

• تمثيل $8$ كـ $2^3$:
  $8 = 2^3$

• تمثيل $7^7$ بشكل عددي:
  $7^7 = 823543$

هذه القوانين والتحويلات المستخدمة في الحل تساعد في تبسيط المعادلة وتوحيد الأساسات للوصول إلى حلاً دقيقًا.