حلاً لمعادلات الأسس باستخدام القوانين (مسألة رياضيات)

المطلوب حساب قيمة $x$ التي تحقق المعادلة $5^{x + 4} = 125^x$. لحل هذه المعادلة، نستخدم خاصية تمثيل الأسس لتحويل الأعداد إلى قوى متساوية.

لنقم بتمثيل القوى بنفس الأساس:
$5^{x + 4} = (5^3)^x$

نعلم أن $5^3 = 125$، لذلك يمكننا استبدالها في المعادلة:
$5^{x + 4} = 125^x \implies (5^3)^x \cdot 5^4 = 125^x$

الآن، نقوم بتجميع الأسس عند الضرب:
$5^{3x} \cdot 5^4 = 5^{3x + 4} = 125^x$

وبما أن الأسس متساوية، يمكننا تعبير المعادلة كالتالي:
$3x + 4 = x$

نقوم بطرح $x$ من الجهتين للحصول على القيمة النهائية:
$3x – x = -4 \implies 2x = -4 \implies x = -2$

إذا كانت القيمة $x = -2$، فإنها تحقق المعادلة المعطاة.

لحل المعادلة $5^{x + 4} = 125^x$، نبدأ بتحليلها باستخدام قوانين الأسس. قاعدة هامة في الحل هي تمثيل القوة بنفس الأساس عند مقارنة الأعداد.

قوانين الأسس المستخدمة:

1. قانون تمثيل القوى بنفس الأساس:
   $a^{m + n} = a^m \cdot a^n$

2. تمثيل العدد 125 باستخدام العدد 5:
   $125 = 5^3$

بدايةً، نقوم بتمثيل القوة $125^x$ باستخدام العدد 5:
$5^{3x}$

ثم نستخدم قاعدة تمثيل القوى بنفس الأساس لتجميع الأسس:
$5^{3x} \cdot 5^4 = 5^{3x + 4}$

المعادلة المعطاة تصبح:
$5^{x + 4} = 5^{3x + 4}$

الآن، نستخدم قاعدة مهمة أخرى:

3. إذا كانت الأسس متساوية، فإن الأسس نفسها متساوية:
   $a^m = a^n \implies m = n$

نقارن الأسس في المعادلة:
$x + 4 = 3x + 4$

ثم نقوم بطرح $x$ من الجهتين للعثور على القيمة النهائية:
$3x – x = -4 \implies 2x = -4 \implies x = -2$

لذا، القيمة $x = -2$ هي الحل النهائي للمعادلة المعطاة.

يتميز هذا الحل بالاعتماد على فهم قوانين الأسس وتمثيل الأعداد بنفس الأساس لتسهيل الحسابات وتوحيد الأعداد في المعادلة.