حلاً لمسألة مستطيل الأبعاد الرياضية (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية المعطاة تتعلق بمستطيل له أبعاد $(x – 2)$ في $(2x + 5)$، ويكون لديه مساحة تساوي $(8x – 6)$، نحتاج إلى حساب قيمة $x$.

نعتبر المساحة للمستطيل تكون ناتج ضرب طول الضلع الأول في الثاني. لذا، نكتب المعادلة:

$(x – 2) \times (2x + 5) = 8x – 6$

نقوم بفتح الأقواس وحل المعادلة:

$2x^2 + 5x – 4x – 10 = 8x – 6$

نقوم بتجميع المصطلحات المتشابهة:

$2x^2 + x – 10 = 8x – 6$

نقوم بترتيب المعادلة بطرح $8x$ من الجهتين:

$2x^2 – 7x – 10 = -6$

نقوم بجمع $6$ من الجهتين:

$2x^2 – 7x – 4 = 0$

الآن، نحتاج إلى حساب قيم $x$ باستخدام القاعدة العامة لحساب الجذور:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث أن المعادلة العامة للمستطيل هي $ax^2 + bx + c = 0$، وهنا $a = 2$، $b = -7$، و $c = -4$.

نستخدم هذه القيم في الصيغة:

$x = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 – 4(2)(-4)}}{2(2)}$

نحسب القيم:

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 32}}{4}$

$x = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{4}$

$x = \frac{7 \pm 9}{4}$

لدينا حلين ممكنين:

1. عندما نأخذ القيمة الموجبة:

$x = \frac{7 + 9}{4} = \frac{16}{4} = 4$

2. عندما نأخذ القيمة السالبة:

$x = \frac{7 – 9}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$

ومع أن القيمة السالبة تكون غير مناسبة لأبعاد المستطيل، إلا أن القيمة الموجبة $x = 4$ تكون الحلا المناسبًا.

حسنًا، دعنا نقوم بفحص المسألة وحلها بمزيد من التفصيل، مستخدمين القوانين الرياضية المعتادة.

لنفحص المسألة:

لدينا مستطيل بأبعاد $(x – 2)$ في $(2x + 5)$، والمعروف أن مساحة المستطيل تحسب بضرب طول الضلع الأول في الثاني. لذلك نكتب:

$(x – 2) \times (2x + 5) = 8x – 6$

نقوم بفتح الأقواس:

$2x^2 + 5x – 4x – 10 = 8x – 6$

نقوم بتجميع المصطلحات المتشابهة:

$2x^2 + x – 10 = 8x – 6$

ثم نقوم بترتيب المعادلة بحيث نقوم بطرح $8x$ من الجهتين:

$2x^2 – 7x – 10 = -6$

نضيف $6$ إلى الجهتين:

$2x^2 – 7x – 4 = 0$

الآن، نحتاج إلى حساب قيم $x$ باستخدام الصيغة العامة للجذر التربيعي:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

وهنا قيم $a = 2$، $b = -7$، و $c = -4$.

نستخدم هذه القيم في الصيغة:

$x = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 – 4(2)(-4)}}{2(2)}$

نقوم بحساب القيم:

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 32}}{4}$

$x = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{4}$

$x = \frac{7 \pm 9}{4}$

نحصل على حلين:

1. عندما نأخذ الجذر الموجب:

$x = \frac{7 + 9}{4} = \frac{16}{4} = 4$

2. عندما نأخذ الجذر السالب، إلا أن هذا لا يناسب في سياق المسألة.

قوانين الجبر المستخدمة:

1. ضرب الأقواس:
   $(x – 2) \times (2x + 5) = 8x – 6$

2. توحيد المصطلحات:
   $2x^2 + x – 10 = 8x – 6$

3. ترتيب المعادلة:
   $2x^2 – 7x – 10 = -6$

4. إضافة/طرح الثوابت:
   $2x^2 – 7x – 4 = 0$

5. صيغة الجذر التربيعي:
   $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

وباستخدام هذه القوانين، تم حساب القيمة الصحيحة لـ $x$ والتي تكون $4$، وهي الحلا المناسبًا للمسألة.