حلاً لمسألة رياضية: البحث عن قيمة X (مسألة رياضيات)

الفرق بين رقمين هو 9، ومجموع تربيع كل رقم يساوي X. قيمة حاصل ضرب الرقمين هي 36. ما هي قيمة المتغير المجهول X؟

المسألة:

لنفترض أن الرقمين هما A و B. إذاً:

1. $A – B = 9$
2. $A^2 + B^2 = X$
3. $A \times B = 36$

الحل:

لنقم بحل المعادلات:

1. من المعادلة الأولى $A – B = 9$: يمكننا إعادة صياغتها لتكون $A = B + 9$.

2. الآن نعوض قيمة A في المعادلة الثانية $A^2 + B^2 = X$:

$(B + 9)^2 + B^2 = X$

قم بفتح القوسين:

$B^2 + 18B + 81 + B^2 = X$

جمع الأشتركات:

$2B^2 + 18B + 81 = X$

3. نستخدم المعادلة الثالثة $A \times B = 36$ للحصول على قيمة B:

$B \times (B + 9) = 36$

فتح القوسين:

$B^2 + 9B = 36$

نقوم بطرح المعادلتين للحصول على قيمة B:

$2B^2 + 18B + 81 – (B^2 + 9B) = 0$

يؤدي ذلك إلى:

$B^2 + 9B + 81 = 0$

الآن يمكننا حل هذه المعادلة باستخدام الصيغة العامة لحلا المعادلات من الدرجة الثانية:

$B = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث $a = 1$, $b = 9$, و $c = 81$. نقوم بحساب القيمة:

$B = \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 – 4 \times 1 \times 81}}{2 \times 1}$

$B = \frac{-9 \pm \sqrt{81 – 324}}{2}$

$B = \frac{-9 \pm \sqrt{-243}}{2}$

هنا يظهر أن الجزر التربيعي للعدد السالب غير ممكن في الأعداد الحقيقية. لذا لا يوجد حلاً حقيقياً لهذه المعادلة.

بما أننا لم نجد قيمة حقيقية ل B، فإن المعادلة الأصلية ليس لها حلاً في الأعداد الحقيقية. وبالتالي، القيمة المطلوبة لـ X غير موجودة في هذا السياق.

توجد طرق متعددة لحل هذه المسألة، وفيما يلي سأوضح الحل باستخدام قوانين الجبر والحساب:

لنحل هذه المسألة، سنقوم بفرض أن الرقمين المطلوبين هما $A$ و $B$، حيث $A$ هو الرقم الأكبر. ثم سنستخدم المعلومات المعطاة في المسألة لتكوين نظام من المعادلات.

المعلومات المعطاة:

1. الفرق بين الرقمين هو 9: $A – B = 9$
2. مجموع التربيعات يساوي $X$: $A^2 + B^2 = X$
3. حاصل ضرب الرقمين هو 36: $A \times B = 36$

الحل:

لنحل المعادلات:

1. نستخدم المعادلة الأولى لتعبير عن أحد الأرقام بالنسبة للآخر: $A = B + 9$.

2. نستخدم المعادلة الثانية لتعويض قيمة $A$ فيها: $(B + 9)^2 + B^2 = X$.

3. نستخدم المعادلة الثالثة لتعويض قيمة $A$ فيها: $B \times (B + 9) = 36$.

الآن، لنقم بحساب قيمة $B$ باستخدام المعادلة الثالثة. نقوم بفتح القوسين وحل المعادلة التي تظهر:

$B^2 + 9B – 36 = 0$

لنحسب القيمة الممكنة لـ $B$ باستخدام الصيغة العامة لحل المعادلات من الدرجة الثانية:

$B = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث $a = 1$, $b = 9$, و $c = -36$. نقوم بتعويض القيم في الصيغة:

$B = \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 – 4 \times 1 \times (-36)}}{2 \times 1}$

$B = \frac{-9 \pm \sqrt{81 + 144}}{2}$

$B = \frac{-9 \pm \sqrt{225}}{2}$

يعطينا ذلك اثنتين من القيم الممكنة لـ $B$: $B_1 = -6$ أو $B_2 = 3$.

الآن نعود إلى المعادلة الأولى $A = B + 9$ ونحسب قيمتي $A$ المقابلتين للقيمتين الممكنتين لـ $B$:

1. لـ $B_1 = -6$: $A_1 = -6 + 9 = 3$
2. لـ $B_2 = 3$: $A_2 = 3 + 9 = 12$

لكن نلاحظ أن $A_1 \times B_1 = 3 \times (-6) = -18$ و $A_2 \times B_2 = 12 \times 3 = 36$، وحسب المعلومات المعطاة حاصل الضرب يجب أن يكون 36. لذا نرفض القيمة $B_1 = -6$ ونتأكد أن القيمة الوحيدة المقبولة هي $B_2 = 3$.

الآن نعوض قيمة $B = 3$ في المعادلتين الثانية والثالثة:

$X = (3 + 9)^2 + 3^2 = 144$

$A \times B = 12 \times 3 = 36$

إذًا، قيمة المتغير المجهول $X$ هي 144.