مسائل رياضيات

حلاً لمسألة تكلفة الكراسي والطاولات

تكلفة كرسيين وثلاث طاولات تبلغ 1400 روبية. تكلفة ثلاثة كراسي واثنتين طاولة تبلغ 1200 روبية. ما هي الفارق في تكلفة كل طاولة مقارنة بكل كرسي؟

حل المسألة:

لنمثل تكلفة الكرسي بـ “س” وتكلفة الطاولة بـ “ت”. وفقًا للمعطيات:

2س + 3ت = 1400
3س + 2ت = 1200

لحل هذه المعادلتين، يمكننا استخدام طريقة الإحلال أو الطريقة المصفوفية. سنستخدم الطريقة المصفوفية هنا.

المعادلة الأولى:
2س+3ت=14002س + 3ت = 1400

المعادلة الثانية:
3س+2ت=12003س + 2ت = 1200

نقوم بتكوين المصفوفة:

[2332]\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \\ \end{bmatrix}

المتجه العمودي:

[ست]\begin{bmatrix} س \\ ت \\ \end{bmatrix}

والمتجه الناتج:

[14001200]\begin{bmatrix} 1400 \\ 1200 \\ \end{bmatrix}

لحساب المتجه الناتج، يمكننا استخدام الصيغة التالية:
AX=BAX = B
حيث AA هي المصفوفة، XX هو المتجه المطلوب، و BB هو المتجه الناتج.

نحسب المصفوفة المعكوسة A1A^{-1} ونضربها في المتجه BB للحصول على المتجه XX:

X=A1BX = A^{-1}B

باستخدام الحسابات، يمكن حساب قيم سس و تت كالتالي:

س=200س = 200

ت=400ت = 400

الآن، بمعرفة قيم سس و تت، يمكننا حساب الفارق في تكلفة كل طاولة مقارنة بكل كرسي:

الفارق=تس=400200=200الفارق = ت – س = 400 – 200 = 200

إذا كان الفارق في تكلفة كل طاولة مقارنة بكل كرسي يبلغ 200 روبية.

المزيد من المعلومات

لحل المسألة، سنستخدم طريقة المصفوفات لحل نظام المعادلات الخطية. لنقم بحساب قيم الكرسي والطاولة، نقوم بتحويل المعادلات إلى مصفوفة ونستخدم العمليات الجبرية لحساب القيم.

المعادلات المعطاة هي:
2س+3ت=14002س + 3ت = 1400
3س+2ت=12003س + 2ت = 1200

نقوم بتمثيل هذه المعادلات في شكل مصفوفة:
A=[2332]A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}
X=[ست]X = \begin{bmatrix} س \\ ت \end{bmatrix}
B=[14001200]B = \begin{bmatrix} 1400 \\ 1200 \end{bmatrix}

الآن نستخدم قاعدة حساب المصفوفات لحساب XX من المعادلة AX=BAX = B. يمكن حساب XX باستخدام العلاقة:
X=A1BX = A^{-1}B

حيث A1A^{-1} هي مصفوفة العكس لـ AA.

قوانين الجبر المستخدمة:

  1. ضرب المصفوفات في عنصر واحد:
    A1BA^{-1}B

  2. قاعدة العكس:
    AA1=A1A=IAA^{-1} = A^{-1}A = I
    حيث II هو المصفوفة الوحدة.

  3. الجمع والطرح:
    يمكن استخدام الجمع والطرح لحساب المصفوفات.

قمنا بحساب المصفوفة A1A^{-1} وضربها في المصفوفة BB للحصول على المصفوفة XX.

الحسابات:
A1=[2/53/53/52/5]A^{-1} = \begin{bmatrix} -2/5 & 3/5 \\ 3/5 & -2/5 \end{bmatrix}

X=[ست]=[2/53/53/52/5][14001200]=[200400]X = \begin{bmatrix} س \\ ت \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2/5 & 3/5 \\ 3/5 & -2/5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1400 \\ 1200 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 200 \\ 400 \end{bmatrix}

إذا كانت قيم سس وتت هي 200 و400 على التوالي. الآن، يمكننا حساب الفارق في تكلفة كل طاولة مقارنة بكل كرسي:

الفارق=تس=400200=200الفارق = ت – س = 400 – 200 = 200

إذا كان الفارق في تكلفة كل طاولة مقارنة بكل كرسي هو 200 روبية.