حلاً لمسألة المطلوبات الحقيقية (مسألة رياضيات)

لنقم بإعادة صياغة المسألة الرياضية باللغة العربية:

لنكن $n$ هو القيمة الصغرى لمجموعة من الأعداد الحقيقية $x_1, x_2, \ldots, x_n$ التي ترضي $|x_i| < 1$ للقيم $i = 1, 2, \dots, n,$ و $|x_1| + |x_2| + \dots + |x_n| = 19 + |x_1 + x_2 + \dots + x_n|.$

"Link To Share" هو منصتك التسويقية الشاملة لتوجيه جمهورك إلى كل ما تقدمه بسهولة واحترافية.

• صفحات بروفايل (Bio) عصرية ومخصّصة • تقصير روابط مع تحليلات متقدّمة • إنشاء رموز QR تفاعلية بعلامة تجارية • استضافة مواقع ثابتة وإدارة أكواد • أدوات ويب متنوعة لتنمية أعمالك

ابدأ الآن وارتقِ بمشاريعك!

الحل:

لنبدأ بتفكيك المعادلة. الشرط الأول $|x_i| < 1$ يعني أن الأعداد $x_i$ تقع ضمن نطاق $(-1, 1)$.

الشرط الثاني هو معادلة مطلقة تتضمن مجموع مقادير المطلقات. لتبسيط الحسابات، دعونا نفرض أن $x_1 + x_2 + \dots + x_n$ هو عدد حقيقي موجب. إذاً، المعادلة تأخذ الشكل:

$|x_1| + |x_2| + \dots + |x_n| = 19 + x_1 + x_2 + \dots + x_n.$

الآن، لنأخذ في اعتبارنا الشروط المفروضة. إذا كانت $x_1 + x_2 + \dots + x_n$ موجبة، فإن المعادلة تتبسط إلى:

$x_1 + x_2 + \dots + x_n = 19 + x_1 + x_2 + \dots + x_n.$

يمكن إلغاء الأعداد $x_1 + x_2 + \dots + x_n$ من الطرفين، ونحصل على $0 = 19$، وهو أمر مستحيل. لذلك، نستنتج أن فرضية توقعنا أن $x_1 + x_2 + \dots + x_n$ موجبة خاطئة.

بما أننا نريد القيمة الصغرى لـ $n$، يجب علينا النظر إلى حالة القيم السالبة لـ $x_1 + x_2 + \dots + x_n$.

إذا كانت $x_1 + x_2 + \dots + x_n$ سالبة، فإن المعادلة الأصلية تأخذ الشكل:

$|x_1| + |x_2| + \dots + |x_n| = 19 – (x_1 + x_2 + \dots + x_n).$

الآن، نحن في حاجة إلى إيجاد القيمة الصغرى لـ $n$ بحيث تكون المعادلة صحيحة. يمكننا القول أن القيمة الصغرى لـ $n$ ستكون عندما تكون $19 – (x_1 + x_2 + \dots + x_n)$ هي قيمة المطلق الكبيرة للأعداد $x_i$.

لنقم بتحليل حالة الأعداد السالبة:

إذا كانت $x_i$ سالبة، فإن المطلق يمثل القيمة السالبة نفسها. إذاً، يمكننا كتابة المعادلة:

$19 – (x_1 + x_2 + \dots + x_n) = x_1 + x_2 + \dots + x_n.$

يمكن إلغاء الأعداد $x_1 + x_2 + \dots + x_n$ من الطرفين، ونحصل على:

$19 = 2(x_1 + x_2 + \dots + x_n).$

وبالتالي:

$x_1 + x_2 + \dots + x_n = \frac{19}{2}.$

الآن، لدينا قيمة محددة لـ $x_1 + x_2 + \dots + x_n$ وهي موجبة. لنعود إلى المعادلة الأصلية:

$|x_1| + |x_2| + \dots + |x_n| = 19 – \left(\frac{19}{2}\right) = \frac{19}{2}.$

الآن، لدينا قيمة ثابتة للمعادلة الأصلية. ونعلم أن الحد الأدنى للمطلق يحدث عندما تكون جميع الأعداد $x_i$ متساوية في القيمة المطلقة. لذلك، يجب أن تكون كل الأعداد $x_i$ متساوية وتكون قيمتها $\frac{19}{2}$.

بالتالي، الحد الأدنى للقيمة $n$ هو العدد الكلي للأعداد في المجموعة، أي:

$n = \left\lfloor\frac{19}{2}\right\rfloor = 9.$

إذاً، القيمة الصغرى لـ $n$ هي 9.

لحل هذه المسألة، سنقوم بتحليل الشروط المطلوبة للأعداد $x_1, x_2, \ldots, x_n$ والتي تأخذ قيمًا في الفترة $(-1, 1)$، وكذلك تحليل المعادلة التي تربط بين المطلقات. سنستخدم قوانين المطلبات والعدد المطلوب لحل المسألة.

لنقم بتفصيل الحل:

1. قانون المطلوب:

   • يتمثل في الشروط المفروضة على الأعداد $x_i$ حيث يجب أن تكون قيمها في الفترة $(-1, 1)$.

2. تحليل المعادلة:

   • المعادلة الرئيسية هي: $|x_1| + |x_2| + \dots + |x_n| = 19 + |x_1 + x_2 + \dots + x_n|.$
   • نفرض أن $x_1 + x_2 + \dots + x_n$ هو موجب لتبسيط الحسابات.

3. تبسيط المعادلة:

   • نفرض أن $x_1 + x_2 + \dots + x_n$ هو موجب، وبالتالي المعادلة تصبح: $|x_1| + |x_2| + \dots + |x_n| = 19 + x_1 + x_2 + \dots + x_n.$
   • يتم إلغاء الجزء الذي يحتوي على $x_1 + x_2 + \dots + x_n$، ونحصل على المعادلة: $0 = 19.$
   • هذا أمر مستحيل، لذلك نستنتج أن فرضية $x_1 + x_2 + \dots + x_n$ موجبة خاطئة.

4. تحليل الحالة السالبة:

   • إذا كانت $x_1 + x_2 + \dots + x_n$ سالبة، فإن المعادلة الرئيسية تأخذ الشكل: $|x_1| + |x_2| + \dots + |x_n| = 19 – (x_1 + x_2 + \dots + x_n).$
   • بتحليل القيم السالبة لـ $x_i$، نجد أن المعادلة الفرعية تأخذ الشكل: $19 = 2(x_1 + x_2 + \dots + x_n).$

5. حساب القيمة الموجبة:

   • الآن، نجد أن $x_1 + x_2 + \dots + x_n = \frac{19}{2}$.
   • هذه القيمة موجبة.

6. تطبيق قانون المطلوب على القيمة الموجبة:

   • القيمة $\frac{19}{2}$ تقع ضمن الفترة $(0, 1)$، لذلك تلبي الشرط المطلوب.

7. حساب القيمة الصغرى لـ $n$:

   • لحساب القيمة الصغرى لـ $n$، نحتاج إلى أن تكون الأعداد $x_i$ متساوية في القيمة المطلقة وتكون قيمتها $\frac{19}{2}$.
   • بما أن الأعداد تأخذ قيمًا في الفترة $(-1, 1)$، فإن القيمة المطلوبة هي: $n = \left\lfloor\frac{19}{2}\right\rfloor = 9.$

قوانين استخدمناها:

• قانون المطلوب:
  • حدود القيم المطلوبة للأعداد $x_i$.
• قانون الفرضية:
  • فرضنا أن $x_1 + x_2 + \dots + x_n$ هو موجب لتسهيل الحسابات.
• قانون إلغاء:
  • إلغاء الأعداد من الطرفين لتبسيط المعادلات.

ملحوظة:

• يتم التأكيد على أن القيمة الصغرى لـ $n$ هي 9، وهي تعكس الحالة التي تحدث عندما تكون القيمة المطلوبة للمطلق في الحد الأدنى (أي عندما تكون الأعداد متساوية في القيمة المطلقة).