حلاً لمسألة المصفوفات الرياضية (مسألة رياضيات)

لنقم بإعادة صياغة المسألة الرياضية:

إذا كانت
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & a \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} 1 & 18 & 2007 \\ 0 & X & 36 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},$

نريد حساب قيمة $a + n.$

الحل:

لحل هذه المسألة، دعونا نقوم بتحليل التأثير التتابعي للمصفوفة في اليمين على المتغيرات في المصفوفة في اليسار.

لدينا المصفوفة الأصلية:
$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & a \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$

ونريد حساب قوة هذه المصفوفة، أي $A^n.$ يمكننا ملاحظة أن العناصر في العمود الأول والثاني لا تتغير في كل عملية ضرب.

بالنظر إلى القوة الثانية من المصفوفة:
$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & a \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 2 & a \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 4 & a + 4 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$

باستخدام نفس الطريقة، يمكن حساب $A^3$ و $A^4$:

$A^3 = A^2 \times A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & a + 4 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 2 & a \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 6 & 2a + 24 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},$

$A^4 = A^3 \times A = \begin{pmatrix} 1 & 6 & 2a + 24 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 2 & a \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 8 & 2a + 52 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$

نرى أن العمود الثاني من $A^2$ إلى $A^4$ يأخذ الشكل التالي:
$A^2: \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad A^3: \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad A^4: \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}.$

نرى أن العناصر الثانية في هذه العمود تتسلسل بشكل متزايد بوحدة. لذلك، يمكننا القول بأنه إذا كانت القوة $n$ هي فرديّة، فإن العنصر الثاني في العمود سيكون
$X = 1 + (n-1) = n.$

وإذا كانت القوة $n$ هي زوجية، فإن العنصر الثاني في العمود سيكون
$X = 1 – (n-1) = 2 – n.$

المصفوفة الناتجة هي
$\begin{pmatrix} 1 & 18 & 2007 \\ 0 & X & 36 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$

لكننا نعلم أن الإجابة للسؤال الأول هي $a + n = 200.$ وبالتالي، يمكننا كتابة معادلة لهذه القيمة:
$a + n = 200.$

إذاً، إذا كانت $n$ فردية، يكون $X = n$ وبالتالي
$a + n = a + X = 200.$

وإذا كانت $n$ زوجية، يكون $X = 2 – n$ وبالتالي
$a + n = a + (2 – n) = 200.$

نقوم بحل المعادلة الناتجة للحصول على قيمة $a$ و $n.$

إذاً، نرى أن القيم الممكنة هي
$a = 99, \quad n = 101.$

وبالتالي، القيمة المطلوبة للمتغير $X$ هي $n = 101.$

لحل هذه المسألة، سنستخدم قانون الرفع للمصفوفات ونحل المعادلة المتوجة للوصول إلى قيمة $a$ و $n.$

أولاً، لنستعرض القوانين المستخدمة:

1. قانون الرفع للمصفوفات:
   إذا كانت $A$ مصفوفة، فإن $A^n$ هي الضرب التتالي لنفس المصفوفة $A$ مع نفسها $n$ مرة.

2. التأثير التتابعي للمصفوفات:
   نلاحظ أن العمود الثاني في التتابع $A^2$، $A^3$، $A^4$ يتغير بمقدار وحدة في كل تكرار.

3. حساب العنصر الثاني في العمود:
   إذا كانت $X$ هي القيمة الغير معروفة في العمود الثاني، وإذا كانت $n$ فرديّة، فإن $X = n.$ إذا كانت $n$ زوجية، فإن $X = 2 – n.$

الآن، لنحسب قيمة $a$ و $n.$

لدينا المصفوفة الأصلية:
$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & a \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$

نحسب $A^2,$ $A^3,$ و $A^4$ بحسب القوانين المذكورة:

$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 4 & a + 4 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},$
$A^3 = \begin{pmatrix} 1 & 6 & 2a + 24 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},$
$A^4 = \begin{pmatrix} 1 & 8 & 2a + 52 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$

نرى أن العمود الثاني في كل تتابع يأخذ الشكل:
$A^2: \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad A^3: \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad A^4: \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}.$

وبناءً على القاعدة الثالثة، نستنتج قيمة $X:$
$X = \begin{cases} n & \text{إذا كان } n \text{ فرديّة} \\ 2 – n & \text{إذا كان } n \text{ زوجية} \end{cases}.$

المصفوفة النهائية هي:
$\begin{pmatrix} 1 & 18 & 2007 \\ 0 & X & 36 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$

لكن لدينا أيضًا المعادلة:
$a + n = 200.$

نستخدم القاعدة الثالثة لحساب قيمة $a$ و $n.$

إذا كانت $n$ فرديّة:
$a + n = a + X = 200.$

إذا كانت $n$ زوجية:
$a + n = a + (2 – n) = 200.$

نحسب المعادلتين للحصول على القيم الممكنة:

1. إذا كانت $n$ فرديّة:
   $a + n = a + n = 200 \implies a = 200 – n.$

2. إذا كانت $n$ زوجية:
   $a + n = a + (2 – n) = 200 \implies a = 198 – n.$

بالتالي، القيم الممكنة لـ $a$ و $n$ هي:
$a = \begin{cases} 200 – n & \text{إذا كانت } n \text{ فرديّة} \\ 198 – n & \text{إذا كانت } n \text{ زوجية} \end{cases},$

$n = \begin{cases} n & \text{إذا كانت } n \text{ فرديّة} \\ 2 – n & \text{إذا كانت } n \text{ زوجية} \end{cases}.$

لنحسب القيم بشكل نهائي:

1. إذا كانت $n$ فرديّة:
   $a = 200 – n, \quad n = n.$

2. إذا كانت $n$ زوجية:
   $a = 198 – n, \quad n = 2 – n.$

تمامًا كما حسبنا في الإجابة السابقة، نجد أن القيم الممكنة هي:
$a = 99, \quad n = 101.$

هذا هو الحل النهائي للمسألة، والذي تم الوصول إليه باستخدام قوانين الرياضيات والجبر الخطي.