حلاً لمسألة المربعات القائمة (مسألة رياضيات)

إذا كانت زاوية PQR هي زاوية قائمة، والرباعيات الثلاث الموضحة هي مربعات، ومجموع مساحات هذه المربعات هو 338 سم²، فما هي مساحة أكبر مربع؟

لنمثل الأضلاع الطويلة للمربعات بالترتيب باعتبارها a، b، و c. يكون مربع أقل الأضلاع هو PQR، ولذا مساحته هي a².

الرباعي الثاني هو الرباعي الذي يشمل زاوية قائمة PQR، ولذا يكون لديه ضلعين طولهما b و b، ومساحته تكون b².

الرباعي الثالث هو الذي يحتوي على الجزء الباقي من المستطيل، ولذا يكون له أضلاع c و c، ومساحته تكون c².

نعلم أن مجموع مساحات هذه المربعات هو 338 سم²، لذا:

$a^2 + b^2 + c^2 = 338$

الآن، نعلم أن الزاوية PQR هي زاوية قائمة، وبالتالي:

$a^2 + b^2 = c^2$

نستخدم هذين المعادلتين لحل المسألة. نقوم بحساب القيمة العددية للمتغيرات باستخدام معلومات المسألة. إذا كنا نعلم أن a، b، و c هي أعداد صحيحة، يمكننا استخدام القوانين الرياضية لحساب القيم.

بعد الحسابات، يتضح أن قيم a، b، و c هي 5، 12، و13 على التوالي. وبالتالي، المربع ذو الضلوع 13 هو الأكبر. لذا، مساحة أكبر مربع هي:

$c^2 = 13^2 = 169 \, \text{سم}^2$

إذاً، مساحة الربع الأكبر هي 169 سم².

لحل هذه المسألة، سنستخدم مفهومات هندسية وقوانين الرياضيات. دعونا نستعرض الخطوات بتفصيل:

1. تحديد المتغيرات:
   فلنمثل أطوال أضلاع المربعات بالترتيب بأحرف $a$، $b$، و $c$، حيث $a$ هو طول ضلع PQR، $b$ هو طول ضلع الرباعي الثاني، و $c$ هو طول ضلع الرباعي الثالث.

2. إعداد المعادلات:
   نعلم أن مساحة المربع تحسب بالعلاقة $مساحة = الضلع^2$، لذا نكتب المعادلات التالية:

   • للمربع PQR: $a^2$
   • للرباعي الثاني: $b^2$
   • للرباعي الثالث: $c^2$

   ونعلم أيضاً أن مجموع مساحات الثلاث مربعات هو 338 سم²، لذا:
   $a^2 + b^2 + c^2 = 338$

   ونعلم أن الرباعي الثالث يحتوي على زاوية قائمة، لذا:
   $a^2 + b^2 = c^2$

3. الحسابات:
   باستخدام القوانين الرياضية والمعادلات السابقة، نجد أن القيم التي تحقق المسألة هي $a = 5$، $b = 12$، و $c = 13$، حيث $a$ و $b$ و $c$ هي أعداد صحيحة.

4. الإجابة:
   مساحة الرباعي الثالث (الأكبر) هي $c^2 = 13^2 = 169$ سم².

القوانين المستخدمة:

• قانون فيثاغورس: ينص على أن في مثلث قائم الزاوية، مربع طول الضلع الذي يقابل الزاوية القائمة يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين. يُعبَّر عنه بالمعادلة $c^2 = a^2 + b^2$ حيث $c$ هو طول الوتر (الضلع الرفيع) و $a$ و $b$ هما أضلاع المثلث.

• معادلة مساحة المربع: تعبر عن حساب مساحة المربع باستخدام العلاقة $مساحة = الضلع^2$.

باستخدام هذه القوانين والتفكير الهندسي، تم حل المسألة بشكل مفصل.