حلاً لمسألة القطريات والجوانب

عدد القطريات في مضلع ذو n جوانب يُعطى بالصيغة v = n ( n – 3 ) / 2. إذا كان لدينا مضلع يحتوي على ضعف عدد الجوانب من القطريات، كيف يمكننا حساب عدد الجوانب؟

لنبدأ بإعادة صياغة المسألة:
إذا كانت v تُمثل عدد القطريات و n تُمثل عدد الجوانب، فإننا نعلم أن v يُمكن حسابها بواسطة المعادلة v = n ( n – 3 ) / 2. ولكن السؤال هو: إذا كانت عدد القطريات ضعف عدد الجوانب، كم عدد الجوانب؟

لحل هذه المسألة، نقوم بوضع المعادلة التي تُعبر عن عدد القطريات كالتالي:
$v = n ( n – 3 ) / 2$

ونُعلن أن عدد القطريات هو ضعف عدد الجوانب:
$v = 2n$

الآن، نقوم بوضع المعادلتين معًا وحلهما للعثور على قيمة n:
$2n = n ( n – 3 ) / 2$

نقوم بضرب الطرفين في 2 للتخلص من المقام:
$4n = n ( n – 3 )$

نفتح القوس ونوازن المعادلة:
$4n = n^2 – 3n$

نقوم بجمع الطرفين وترتيب المعادلة في شكل منتظم:
$n^2 – 7n = 0$

نعمل على تحليل المعادلة إلى عواملها:
$n ( n – 7 ) = 0$

من هنا، يمكن أن يكون إما $n = 0$ أو $n – 7 = 0$. ولكن من الواضح أن عدد الجوانب لا يمكن أن يكون صفرًا، لذا نستبعد $n = 0$ ونركز على $n – 7 = 0$. نحل لـ n:
$n = 7$

إذا كان لدينا مضلعًا يحتوي على 7 جوانب، فإنه سيكون لديه ضعف عدد القطريات.

لحل هذه المسألة، سنقوم بفحص القوانين والخطوات التي تستخدم في الرياضيات للوصول إلى الإجابة. القوانين المستخدمة هي قوانين الجبر والحساب:

1. قانون القطريات في المضلع:
   يُمثل عدد القطريات في مضلع ذو n جوانب بالصيغة التالية:
   $v = \frac{n \cdot (n – 3)}{2}$

2. العلاقة بين عدد القطريات وعدد الجوانب:
   إذا كانت $v$ هي عدد القطريات و $n$ هو عدد الجوانب، يُمكن التعبير عن العلاقة بالمعادلة:
   $v = 2n$

3. الخطوات لحل المعادلة:

   • نقوم بوضع المعادلتين معًا:
     $2n = \frac{n \cdot (n – 3)}{2}$

   • نضرب الطرفين في 2 للتخلص من المقام:
     $4n = n \cdot (n – 3)$

   • نفتح القوس ونرتب المعادلة:
     $4n = n^2 – 3n$

   • نقوم بجمع الطرفين وترتيب المعادلة في شكل منتظم:
     $n^2 – 7n = 0$

   • نحل المعادلة إلى عواملها:
     $n \cdot (n – 7) = 0$

   • نستبعد $n = 0$ ونركز على $n – 7 = 0$، ونحل لـ $n$:
     $n = 7$

4. الإجابة:
   إذا كان لدينا مضلعًا يحتوي على 7 جوانب، فإنه سيكون لديه ضعف عدد القطريات.

في هذا الحل، تم استخدام قوانين الجبر والحساب لتحويل المعلومات المعطاة في المسألة إلى معادلة رياضية. بعد ذلك، تم حل المعادلة بواسطة عمليات الجمع والضرب وعمليات تحليل العوامل للوصول إلى القيمة النهائية لـ $n$، والتي تمثل عدد الجوانب المطلوب.