مسائل رياضيات

حلاً لمسألة الضرب المصفوفي: قيمة X (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 15/02/2024
0

نريد حساب المنتج التبادلي للمصفوفتين التاليتين:

(Xc−b−c0ab−a0)(a2abacabb2bcacbcc2)\begin{pmatrix} X & c & -b \\ -c & 0 & a \\ b & -a & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a^2 & ab & ac \\ ab & b^2 & bc \\ ac & bc & c^2 \end{pmatrix}

لنقوم بذلك، نقوم بضرب كل صف في المصفوفة الأولى بكل عمود في المصفوفة الثانية، ثم نجمع الناتجات. سنحسب الصف الأول من المنتج النهائي أولاً:

مواضيع ذات صلة
(Xc−b)(a2abac)=Xa2+cab−b2\begin{pmatrix} X & c & -b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a^2 \\ ab \\ ac \end{pmatrix} = Xa^2 + cab – b^2

الآن، سنحسب الصف الثاني:

(−c0a)(abb2bc)=−cab+0+abc\begin{pmatrix} -c & 0 & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ab \\ b^2 \\ bc \end{pmatrix} = -cab + 0 + abc

أخيرًا، سنحسب الصف الثالث:

(b−a0)(acbcc2)=bac−abc+0\begin{pmatrix} b & -a & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ac \\ bc \\ c^2 \end{pmatrix} = bac – abc + 0

الآن، سنكتب المنتج النهائي كما يلي:

(Xa2+cab−b2−cab+abcbac−abc)\begin{pmatrix} Xa^2 + cab – b^2 & -cab + abc & bac – abc \end{pmatrix}

وبالنظر إلى النتيجة المعطاة:

(000)\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

نجد أن جميع العناصر تساوي الصفر. لذا يجب أن تكون جميع المصفوفات في الناتج النهائي تساوي الصفر. بالتالي، لنحل المعادلات:

  1. Xa2+cab−b2=0Xa^2 + cab – b^2 = 0
  2. −cab+abc=0-cab + abc = 0
  3. bac−abc=0bac – abc = 0

لنقم بحل المعادلات:

  1. من المعادلة الأولى: Xa2+cab−b2=0Xa^2 + cab – b^2 = 0
    يعني Xa2=b2−cabXa^2 = b^2 – cab

  2. نستخدم المعادلة الثانية: −cab+abc=0-cab + abc = 0
    يعني abc=cababc = cab

  3. ومن ثم المعادلة الثالثة: bac−abc=0bac – abc = 0
    نستخدم abc=cababc = cab
    يعني bac−cab=0bac – cab = 0
    يعني bac=cabbac = cab

الآن، بما أننا نعرف أن abc=cababc = cab و bac=cabbac = cab و Xa2=b2−cabXa^2 = b^2 – cab. فإننا نستنتج أن Xa2=b2−abcXa^2 = b^2 – abc.

النتيجة النهائية هي Xa2=b2−abcXa^2 = b^2 – abc.

المصفوفة الناتجة عن الضرب تحتوي على صفوف مكونة من الصفر، لذا يجب أن تكون القيمة النهائية لكل العناصر الصفرية، وبالتالي:

Xa2=b2−abc=0Xa^2 = b^2 – abc = 0

الآن، بما أن abc=cababc = cab

نستنتج أن Xa2=b2−cab=b2−abcXa^2 = b^2 – cab = b^2 – abc

بالتالي:

Xa2=0Xa^2 = 0

وبما أن aa و bb و cc هي قيم غير معروفة ولكننا نعلم أن الناتج النهائي هو مصفوفة مكونة من الصفريات، فإن القيمة الوحيدة التي تجعل Xa2=0Xa^2 = 0 هي X=0X = 0.

إذاً، قيمة المتغير غير المعروفة XX تساوي الصفر.

المزيد من المعلومات

لحل المسألة وتحديد قيمة المتغير XX، سنستخدم قوانين الجبر الخطي وضرب المصفوفات. الهدف هو الوصول إلى الشروط التي تجعل المنتج النهائي يكون مصفوفة مكونة من الصفريات.

للقيام بذلك، سنقوم بحساب المنتج التبادلي للمصفوفتين المعطاة والتي نمثلهما بالمصفوفتين AA و BB على التوالي. سنستخدم قوانين الضرب للمصفوفات لحساب كل عنصر في المنتج النهائي.

القوانين المستخدمة:

  1. ضرب المصفوفات: لحساب كل عنصر في المنتج النهائي.
  2. تعريف ضرب المصفوفات: حيث يقوم كل عنصر في المنتج النهائي بتكوين مجموعة معينة من المنتجات الداخلية للصفوف والأعمدة.

الآن، دعنا نبدأ في حساب المنتج التبادلي:

  1. سنقوم بضرب كل صف في المصفوفة AA بكل عمود في المصفوفة BB، ثم نجمع الناتجات.
  2. نحلل الناتج للوصول إلى الشروط التي تجعله مصفوفة مكونة من الصفريات.

بعد الحساب، نحصل على المنتج التبادلي النهائي كالتالي:

(Xa2+cab−b2−cab+abcbac−abc)\begin{pmatrix} Xa^2 + cab – b^2 & -cab + abc & bac – abc \end{pmatrix}

ومن المعروف أن النتيجة النهائية المطلوبة هي مصفوفة مكونة من الصفريات:

(000)\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

لذا يجب أن تكون جميع العناصر في المنتج النهائي تساوي الصفر. بمعنى آخر، يجب أن تكون الشروط التالية محققة:

  1. Xa2+cab−b2=0Xa^2 + cab – b^2 = 0
  2. −cab+abc=0-cab + abc = 0
  3. bac−abc=0bac – abc = 0

باستخدام هذه الشروط، نستطيع حساب قيمة المتغير XX عن طريق حل المعادلات الموجودة، والتي تكونت من الضرب المصفوفي. باستخدام الجبر، نوصل إلى النتيجة التالية:

Xa2=0Xa^2 = 0

وبما أننا نعلم أن aa هو قيمة غير معروفة ولكن الناتج النهائي يجب أن يكون مصفوفة مكونة من الصفريات، فإن القيمة الوحيدة التي تجعل Xa2=0Xa^2 = 0 هي X=0X = 0.

إذاً، قيمة المتغير المطلوبة XX تساوي الصفر.

لذا، القوانين المستخدمة في الحل هي قوانين الجبر الخطي وتعريف ضرب المصفوفات.

اخر تحديث 15/02/2024
0