حلاً لمسألة الدرجة الثانية الرياضية (مسألة رياضيات)

المعادلة الرياضية التي نحتاج إلى حلها هي:

$f(x)$ هو متعدد الحدود الذي يحقق $f(0) = 4$ و $f(1) = 10$، ونعلم أن درجة $f(x)$ هي $2$.

لحل هذه المسألة، دعونا نفترض أن $f(x)$ يكون في شكل $ax^2 + bx + c$، حيث $a$، $b$، و $c$ هي الثوابت التي نحتاج إلى حسابها.

نعلم أن $f(0) = 4$، لذلك قمنا بتعويض $x=0$ في المعادلة:

$f(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = c = 4$

الآن نعلم قيمة $c$، وهي $4$.

نعلم أيضاً أن $f(1) = 10$، لذلك نقوم بتعويض $x=1$:

$f(1) = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = a + b + c = 10$

لكننا قد حسبنا قيمة $c$ في المرحلة السابقة وجدنا أنها تساوي $4$، لذلك يمكننا استبدالها:

$a + b + 4 = 10$

الآن نحتاج إلى حساب قيم $a$ و $b$.

نعلم أيضاً أن $f(x)$ هو متعدد الحدود درجته $2$، لذلك يمكننا كتابة:

$f(x) = ax^2 + bx + 4$

ونعلم أن درجة $f(x)$ هي $2$، لذلك $a$ يجب أن يكون غير صفر.

لدينا الآن معادلة واحدة تحتوي على $a$ و $b$:

$a + b + 4 = 10$

ولكن لا يمكننا حل هذه المعادلة بمجرد معلومة واحدة، نحتاج إلى معادلة إضافية. في هذه الحالة، لدينا الخيار في كتابة المعادلة الإضافية بشكل يسهل الحساب.

نعلم أن $f(x)$ هو متعدد الحدود ودرجته $2$، لذلك يمكننا كتابة:

$f(x) = ax^2 + bx + 4$

الآن نقوم بحساب المشتقة الثانية لـ $f(x)$:

$f”(x) = 2a$

نعلم أن $f”(x)$ هو ثابت بمرة واحدة، لكننا نعلم أيضاً أن درجة $f(x)$ هي $2$، لذلك يجب أن تكون $f”(x)$ غير صفر. لذلك، يمكننا كتابة:

$2a \neq 0$

الآن لدينا نظام معادلات:

$\begin{cases} a + b + 4 = 10 \\ 2a \neq 0 \end{cases}$

نحل هذا النظام للعثور على قيم $a$ و $b$.

بحل المعادلة الأولى، نجد أن $a + b = 6$، ومن ثم يمكننا استخدام ذلك في المعادلة الثانية:

$2a \neq 0$

إذاً، $a$ يجب أن يكون غير صفر.

الآن، لنقم بحساب قيمة $b$ باستخدام المعادلة الأولى:

$a + b = 6$

إذاً، $b = 6 – a$.

الآن لدينا معادلة للتعبير عن $f(x)$:

$f(x) = ax^2 + (6-a)x + 4$

نحن بحاجة إلى التأكد من أن $a$ ليست صفر. إذا كانت $a$ صفر، سنكون بحاجة إلى إعادة النظر في حساباتنا، ولكن في هذه الحالة نفترض أن $a$ غير صفر.

إذاً، الحلاصحيحة للمعادلة هي:

$f(x) = ax^2 + (6-a)x + 4$، حيث $a$ غير صفر.

أخيراً، يمكننا ترتيب المعادلة بشكل أفضل عن طريق إعادة ترتيب الأعضاء:

$f(x) = ax^2 + (6-a)x + 4$

لنقوم بحل تلك المسألة بمزيد من التفصيل، سنستخدم القوانين الرياضية والجبر في عملية الحل.

المعادلة الأساسية التي نحتاج إلى حلها هي:

$f(x) = ax^2 + (6-a)x + 4$

نعلم أن $f(0) = 4$، لذلك سنستخدم هذه المعلومة لحساب قيمة $c$ في المعادلة:

$f(0) = 4 = a \cdot 0^2 + (6-a) \cdot 0 + c$

ومن ثم:

$c = 4$

الآن، نعلم أن $f(1) = 10$، لذلك سنستخدم هذه المعلومة لحساب قيم $a$ و $b$:

$f(1) = 10 = a \cdot 1^2 + (6-a) \cdot 1 + 4$

ومن ثم:

$a + (6-a) + 4 = 10$

حيث قمنا بتعويض قيمة $c$ بالقيمة التي حسبناها في المرحلة السابقة.

الآن، نقوم بحساب هذه المعادلة:

$a + 6 – a + 4 = 10$

وبتبسيطها، نحصل على:

$10 = 10$

التي تكون دائماً صحيحة. هذا يعني أن لدينا عدد لا نهائي من الحلول للمعادلة، ولكننا بحاجة إلى قيود إضافية لتحديد القيم.

هنا يأتي دور المعلومة الإضافية التي ذُكرت في السؤال، وهي أن $f(x)$ هو متعدد الحدود ودرجته $2$، لذلك يجب أن تكون قيمة $a$ غير صفر.

إذاً، نحن نقيد حلا المعادلة بأن $a \neq 0$، وبالتالي نستبعد الحالة التي $a$ تكون صفر.

لدينا الآن حل صحيح للمعادلة:

$f(x) = ax^2 + (6-a)x + 4$

حيث $a$ هو أي عدد حقيقي غير صفر. يمكننا أن نكتبها بشكل أفضل بترتيب الأعضاء:

$f(x) = ax^2 + (6-a)x + 4$

في هذا الحل، استخدمنا القوانين الرياضية المتعلقة بجمع وضرب الأعداد، واستخدمنا قوانين الجبر لحساب القيم وحل المعادلات.