حلاً لمسألة الباقي الرياضي: قسمة مع توضيح الحسابات (مسألة رياضيات)

العملية الرياضية التي نحتاج إلى حلها هي البحث عن أصغر عدد صحيح يكون أكبر من واحد، وعند قسمته على 17، 6، و 2، يترك باقي يساوي واحد في كل عملية قسمة.

لنجد هذا العدد، يمكننا أن نستخدم الرموز الرياضية لتمثيل هذه العلاقات. فلنكن $k$ هو العدد الذي نبحث عنه، يمكننا كتابة المعادلات التالية:

$k \equiv 1 \pmod{17}$
$k \equiv 1 \pmod{6}$
$k \equiv 1 \pmod{2}$

حيث $ \equiv $ يعني “متناسب مع” أو “يترك باقياً متساوياً لـ”.

لحل هذه المعادلات، يمكننا استخدام الخوارزمية الصينية للباقي. لنقم بحساب القيم لكل معادلة بشكل منفصل.

للمعادلة الأولى:
$17a$
للمعادلة الثانية:
$6b$
للمعادلة الثالثة:
$2c$

حيث $a$، $b$، و $c$ هي الأعداد التي سنقوم بحسابها.

الآن، سنجمع هذه القيم للحصول على الحل النهائي:
$k = 17a + 6b + 2c$

ونبحث عن أصغر قيم ممكنة لـ $k$ التي تحقق الشروط المطلوبة. يمكننا استخدام الطريقة التجريبية لتحقيق هذا، وسنكتفي هنا بتقديم القيم الصحيحة للمتغيرات $a$، $b$، و $c$.

للتقديم السريع، يمكننا استخدام $a=1$، $b=3$، و $c=1$، حيث:
$k = 17 \times 1 + 6 \times 3 + 2 \times 1 = 17 + 18 + 2 = 37$

إذا كان السؤال يطلب أصغر عدد صحيح يلبي الشروط، فإن الإجابة هي $k=37$.

بالطبع، سنقدم تفاصيل أكثر حول حل هذه المسألة والقوانين التي تم استخدامها في العملية.

القوانين المستخدمة:

1. مبرهنة القسمة: إذا قسمنا عددًا صحيحًا على عدد صحيح، يمكن أن يكون للناتج باقي، ويمكن أن يكون الباقي أي عدد صحيح أقل من المقسوم.

2. مبرهنة القسمة الصينية للباقي: تساعدنا هذه المبرهنة في حساب الحلول المشتركة لمجموعة من المعادلات التي تتضمن باقي القسمة.

الحل:

نحتاج إلى حل المعادلات التالية:
$k \equiv 1 \pmod{17}$
$k \equiv 1 \pmod{6}$
$k \equiv 1 \pmod{2}$

لنقم بحساب الحلول باستخدام مبرهنة القسمة الصينية للباقي:

1. للمعادلة الأولى (قسمة على 17):
   $17a$
   حيث $a$ يمثل باقي القسمة.

2. للمعادلة الثانية (قسمة على 6):
   $6b$
   حيث $b$ يمثل باقي القسمة.

3. للمعادلة الثالثة (قسمة على 2):
   $2c$
   حيث $c$ يمثل باقي القسمة.

الآن، سنقوم بحساب الحلول المشتركة. إنهاء المعادلات متزامنًا، يعني أننا نبحث عن أعداد صحيحة $a$، $b$، و $c$ حتى تكون جميع الأعداد المحسوبة متساوية (أو متناسبة مع بعضها البعض). يمكننا استخدام تقنية التجريب والخطأ للعثور على أصغر قيم تلبي الشروط.

في هذه الحالة، اخترنا قيمًا تجريبية:
$a = 1, \quad b = 3, \quad c = 1$

وباستخدام هذه القيم، يمكننا حساب $k$ بواسطة المعادلة:
$k = 17a + 6b + 2c$

$k = 17 \times 1 + 6 \times 3 + 2 \times 1 = 17 + 18 + 2 = 37$

لذلك، الحل لهذه المسألة هو $k = 37$، والذي يفي بشروط الباقي المطلوبة لكل معادلة.