مسائل رياضيات

حلاً للمعادلة اللوغاريتمية: درس في حساب القوى (مسألة رياضيات)

المعادلة التي يجب حلها هي:

log16(r+16)=54\log_{16} (r+16) = \frac{5}{4}

لحل هذه المعادلة، نقوم بتطبيق عملية اللوغاريتم للقاعدة 16 على الطرفين للتخلص من اللوغاريتم. يتبع ذلك:

r+16=1654r + 16 = 16^{\frac{5}{4}}

الآن، نقوم بحساب قيمة 165416^{\frac{5}{4}}. يعادل ذلك:

1654=(24)54=2(4×54)=25=3216^{\frac{5}{4}} = (2^4)^{\frac{5}{4}} = 2^{(4 \times \frac{5}{4})} = 2^5 = 32

إذاً، نستخدم هذه القيمة في المعادلة:

r+16=32r + 16 = 32

نطرح 16 من الطرفين:

r=16r = 16

إذاً، القيمة التي تحقق المعادلة هي r=16r = 16.

المزيد من المعلومات

بالطبع، دعونا نستعرض الخطوات بتفصيل أكثر لحل المعادلة:

المعادلة الأصلية:

log16(r+16)=54\log_{16} (r+16) = \frac{5}{4}

الخطوة 1: تطبيق لوغاريتم القاعدة 16 على الطرفين:

r+16=1654r + 16 = 16^{\frac{5}{4}}

الخطوة 2: حساب قيمة 165416^{\frac{5}{4}}:

1654=(24)54=2(4×54)=25=3216^{\frac{5}{4}} = (2^4)^{\frac{5}{4}} = 2^{(4 \times \frac{5}{4})} = 2^5 = 32

الآن، نستخدم هذه القيمة في المعادلة:

r+16=32r + 16 = 32

الخطوة 3: طرح 16 من الطرفين للعثور على قيمة rr:

r=16r = 16

القوانين المستخدمة:

  1. قانون لوغاريتم القاعدة 16:

    log16(r+16)=54    r+16=1654\log_{16} (r+16) = \frac{5}{4} \implies r + 16 = 16^{\frac{5}{4}}
  2. حساب قيمة 165416^{\frac{5}{4}}:

    1654=(24)54=2(4×54)=25=3216^{\frac{5}{4}} = (2^4)^{\frac{5}{4}} = 2^{(4 \times \frac{5}{4})} = 2^5 = 32
  3. حلاً للمعادلة:

    r+16=32    r=16r + 16 = 32 \implies r = 16

في هذا الحل، قمنا باستخدام قوانين اللوغاريتم وقوانين الأسس لتبسيط المعادلة وحساب القيم. الهدف الرئيسي هو تبسيط المعادلة إلى صورة يمكن حسابها بسهولة والوصول إلى القيمة المطلوبة.