حلاً للمعادلة الرياضية باستخدام العوامل (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية تتعلق بإيجاد قيمة المتغير $k$ في المعادلة التالية:

$kx^2 – 5x – 12 = 0$

حيث تعتبر قيم $x=3$ و $x=-\frac{4}{3}$ حلاً لهذه المعادلة. لحل المسألة، سنقوم بتفكيك المعادلة باستخدام الحلول المعطاة.

أولاً، نستخدم القاعدة التي تقول إنه إذا كانت $x=a$ هي حلاً للمعادلة، فإن $(x-a)$ هو عامل لها. بناءً على ذلك، نكتب المعادلة كالتالي:

$(x – 3)(x + \frac{4}{3}) = 0$

الآن، نقوم بضرب العوامل للحصول على المعادلة القياسية:

$x^2 + \frac{4}{3}x – 3x – 4 = 0$

ثم نجمع المصطلحات المتشابهة:

$x^2 – \frac{5}{3}x – 4 = 0$

المعادلة الناتجة تعبر عن المعادلة الأصلية. وبمقارنة مع المعادلة الأصلية $kx^2 – 5x – 12 = 0$، نجد أن $k$ يكون مساوياً للمعامل الرئيسي للمتغير $x^2$ في المعادلة المعادة:

$k = 1$

إذاً، قيمة المتغير $k$ التي تحقق الشروط المطلوبة هي $k = 1$.

بدايةً، سنستخدم القاعدة التي تقول إن إذا كانت $x=a$ هي حلاً للمعادلة $ax^2+bx+c=0$، فإن $(x-a)$ هو عامل لها. وفي هذه المسألة، نعلم أن $x=3$ و $x=-\frac{4}{3}$ هما حلول للمعادلة $kx^2 – 5x – 12 = 0$، لذا يمكننا كتابة المعادلة بشكل العوامل كالتالي:

$(x – 3)(x + \frac{4}{3}) = 0$

ثم نقوم بضرب العوامل للحصول على المعادلة القياسية:

$x^2 + \frac{4}{3}x – 3x – 4 = 0$

الآن، نجمع المصطلحات المتشابهة:

$x^2 – \frac{5}{3}x – 4 = 0$

تمثل المعادلة الناتجة المعادلة الأصلية، لكن بشكل مفكك. الخطوة الأخيرة هي مقارنة المعاملات المماثلة مع المعادلة الأصلية $kx^2 – 5x – 12 = 0$. في المعادلة الأصلية، المعامل الرئيسي للمتغير $x^2$ هو $k$، وفي المعادلة المعادة، المعامل الرئيسي هو 1.

لذلك، نجد أن قيمة المتغير $k$ تكون:

$k = 1$

باختصار، استخدمنا القاعدة المذكورة لتحويل الحلول المعطاة إلى عوامل، ثم قمنا بضرب العوامل للحصول على المعادلة القياسية. أخيرًا، قمنا بمقارنة المعاملات للوصول إلى قيمة المتغير $k$.