حلاً للمعادلة الرباعية بإكمال المربعات (مسألة رياضيات)

المعادلة الرباعية المعطاة هي $x^2 + 8x – X = 0$. عندما يقوم سكوت بإكمال المربعات، يحصل على معادلة من الشكل $(x + a)^2 = b$. السؤال يطلب قيمة $b$.

إذا كانت الإجابة على هذا السؤال هي 17، فإن قيمة المتغير المجهول $X$ هي ماذا؟

للبداية، لنقم بإكمال المربع:

$x^2 + 8x – X = (x + 4)^2 – 16 – X$

الآن، نقارن هذا بالشكل القياسي $(x + a)^2 = b$:

$(x + 4)^2 – 16 – X = b$

ووفقًا للسؤال، نعلم أن $b = 17$. لذا، نقوم بتعويض هذه القيمة:

$(x + 4)^2 – 16 – X = 17$

الآن، نحل للحصول على قيمة $X$:

$(x + 4)^2 – X = 33$

$(x + 4)^2 = X + 33$

$x + 4 = \sqrt{X + 33}$

$x = -4 + \sqrt{X + 33}$

الآن نحصل على القيمة المطلوبة للمتغير $X$.

$X = \left( -4 + \sqrt{X + 33} \right)^2$

الخطوات النهائية لحساب قيمة $X$ تنطوي على فحص الحلول للمعادلة الرباعية الجديدة وتحديدها. إلا أن هذا يشكل الإجابة على السؤال الثاني، حيث تكون قيمة المتغير المجهول $X$.

لحل المسألة المعطاة، سنقوم بإتباع خطوات الإكمال للمربعات واستخدام بعض القوانين الجبرية. دعنا نقوم بذلك بطريقة تفصيلية.

المعادلة المعطاة هي:
$x^2 + 8x – X = 0$

الخطوة الأولى هي إضافة ما يلزم لإكمال المربع الثلاثي. نضيف $(8/2)^2 = 16$ على الجانب الأيسر والجانب الأيمن للمعادلة:
$x^2 + 8x + 16 – X + 16 = 16$

الآن، يمكننا تحويل الجزء الأيسر إلى مربع كامل:
$(x + 4)^2 – X + 16 = 16$

نقلل 16 من الطرفين:
$(x + 4)^2 – X = 0$

الآن، نعلم أن هذه المعادلة تأخذ الشكل القياسي لـ $(x + a)^2 = b$ حيث $b = 0$، لذا $(x + 4)^2 = X$.

وفقًا للسؤال، قيل أن $b$ يكون 17، لذا:
$X = (x + 4)^2 = 17$

الآن نقوم بحل المعادلة للحصول على قيمة $x$:
$x + 4 = \pm \sqrt{17}$

$x = -4 + \sqrt{17}$ أو $x = -4 – \sqrt{17}$

القوانين المستخدمة في هذا الحل تشمل:

1. إكمال المربعات: لتحويل المعادلة إلى شكل قياسي من $ax^2 + bx + c = 0$ إلى $(x + a)^2 = b$.
2. الجذور التربيعية: لحساب الجذر التربيعي في المعادلة النهائية.

هذه القوانين تعتمد على الجبر والحساب، وهي جزء من الأدوات الرئيسية المستخدمة في حل مسائل الرياضيات.