حلاً للمعادلات الكعبية: تفكيك وحل (مسألة رياضيات)

المعادلة التي نحتاج إلى حلها هي:
$(x-4)^3 = \left(\frac{1}{8}\right)^{-1}$

لحل هذه المعادلة، نبدأ بتبسيط الجهة اليمنى:
$\left(\frac{1}{8}\right)^{-1} = 8$

المعادلة الجديدة هي:
$(x-4)^3 = 8$

الخطوة التالية تكون في أخذ الجذر الثلاثي للجهة اليسرى واليمنى للمعادلة للتخلص من الرفع للتكعيب.

$\sqrt[3]{(x-4)^3} = \sqrt[3]{8}$

وبما أننا في عملية جذر ثلاثي، نحصل على:

$x-4 = 2$

لحل المعادلة لنقل $-4$ إلى الجهة اليمنى:

$x = 6$

إذاً، القيمة المطلوبة لـ $x$ في المعادلة الأصلية هي $x = 6$.

لحل المعادلة $(x-4)^3 = \left(\frac{1}{8}\right)^{-1}$، نقوم بالتالي:

1. تبسيط الجهة اليمنى:
   نبدأ بحساب $\left(\frac{1}{8}\right)^{-1}$، والذي يكون يساوي $8$، حيث أن $\left(\frac{1}{a}\right)^{-1} = a$ لأن تراجع الأس من العدد يلغي السالب.

   المعادلة الجديدة هي: $(x-4)^3 = 8$

2. استخدام الجذر الثلاثي:
   نقوم بأخذ الجذر الثلاثي للجهتين اليمنى واليسرى للمعادلة للتخلص من التراجع للتكعيب:

   $\sqrt[3]{(x-4)^3} = \sqrt[3]{8}$

   هنا نستخدم قاعدة أن $(a^m)^{\frac{1}{n}} = a^{\frac{m}{n}}$ لتسهيل العملية. يتم إلغاء الرفع للتكعيب مع استخدام الجذر الثلاثي.

3. حل المعادلة:
   بعد ذلك، نحصل على:

   $x – 4 = 2$

   حيث أخذنا الجذر الثلاثي لـ $8$ وحصلنا على $2$.

   نقوم بنقل $-4$ إلى الجهة اليمنى:

   $x = 6$

   إذاً، القيمة المطلوبة لـ $x$ في المعادلة الأصلية هي $x = 6$.

في هذا الحل، استخدمنا قوانين الأسس والجذور لتبسيط المعادلة وحساب القيمة المطلوبة. القاعدة المهمة هي $(a^m)^{\frac{1}{n}} = a^{\frac{m}{n}}$ وكذلك فهم كيفية تبسيط التعابير الرياضية وتطبيق العمليات الأساسية عليها.