حلاً للمعادلات الرباعية باستكمال المربع (مسألة رياضيات)

المعادلة التربيعية هي $11x^2 – 44x – 99 = 0$. بواسطة استكمال المربعات، قام Krzysztof بحل المعادلة والحصول على المعادلة المكافئة $(x + r)^2 = s$، حيث $r$ و $s$ هما ثوابت. يهدف السؤال إلى معرفة قيمة $r + s$.

لنبدأ بحساب قيمة $r$. عند استكمال المربع، نقوم بتجزئة معامل $x$ في المعادلة الأصلية، حيث:

$11x^2 – 44x – 99 = 11(x^2 – 4x) – 99$

ثم نقوم بإضافة وتحجيم الرقم المتبقي لاستكمال المربع. في هذه الحالة، يكون الرقم المتبقي $(-4/2)^2 = 4$، لذلك نقوم بإضافة 4 إلى المعادلة:

$11(x^2 – 4x + 4) – 99 + 44 = 11(x – 2)^2 – 55 = 0$

الآن لدينا المعادلة المكافئة بتمامها. نقارنها مع $(x + r)^2 = s$، حيث $r = -2$ (من الرقم الذي تم إضافته لاستكمال المربع) و $s = 55$ (من الرقم الذي تم إضافته لجعل المعادلة مكافئة):

$(x – 2)^2 = 5$

لذا، $r = -2$ و $s = 55$، وبالتالي $r + s = -2 + 55 = 53$.

إذاً، قيمة $r + s$ هي 53.

لحل هذه المسألة، سنقوم باتباع خطوات استكمال المربع. الهدف من استكمال المربع هو تحويل المعادلة الرباعية إلى صيغة مربع كامل لتسهيل العمليات الحسابية وتحديد القيم للمتغيرات.

المعادلة الرباعية المعطاة هي:
$11x^2 – 44x – 99 = 0$

1. تجزئة المعادلة:
   نبدأ بتجزئة معامل $x$:
   $11(x^2 – 4x) – 99 = 0$

2. استكمال المربع:
   نقوم بإضافة وتحجيم الرقم المناسب لاستكمال المربع. في هذه الحالة، نقوم بإضافة $(4/2)^2 = 4$:
   $11(x^2 – 4x + 4) – 99 + 44 = 11(x – 2)^2 – 55 = 0$

   الآن لدينا المعادلة بصيغة مربع كامل.

3. مقارنة معادلتنا المكملة:
   نقوم بمقارنة المعادلة المكملة مع الصيغة العامة للمربع الكامل: $(x + r)^2 = s$.
   $11(x – 2)^2 – 55 = 0$

   من المقارنة، نجد أن $r = -2$ و $s = 55$.

4. الإجابة النهائية:
   إذاً، الحل للمعادلة هو $(x – 2)^2 = 55$، والقيم المطلوبة هي $r = -2$ و $s = 55$.

5. قاعدة جمع القوى:
   القاعدة المستخدمة هي قاعدة جمع القوى للاستفادة من تجزئة المعادلة واستكمال المربع.

6. قاعدة استكمال المربع:
   نقوم باستخدام قاعدة استكمال المربع لتحديد الرقم المناسب الذي يتم إضافته لجعل المعادلة قابلة للعبور إلى صيغة مربع كامل.

بهذه الطريقة، تم استخدام قوانين الجبر وتحويل المعادلة إلى صيغة مربع كامل للوصول إلى القيم المطلوبة للمتغيرات وحساب قيمة $r + s$ التي تكون في هذه الحالة تساوي 53.