حلاً للمعادلات التربيعية بنسبة جذور محددة (مسألة رياضيات)

المعادلة هي $x^2 + 6x + k = 0$، ونعلم أن الجذور الغير صفرية تكون في نسبة 2:1. يُطلب منا حساب قيمة المتغير $k$.

حل المسألة:
لنحسب الجذور باستخدام الصيغة العامة لحل المعادلة من الدرجة الثانية: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$، حيث $ax^2 + bx + c = 0$. في هذه الحالة، $a=1$، $b=6$، و $c=k$.

نحسب قيم الجذور باستخدام النسبة المعطاة. فلنفترض أن الجذور هي $2r$ و $r$، حيث $r$ هو النسبة. إذاً، يكون لدينا:

نستخدم القيم المعطاة لحساب الجذور:

الآن، نعود للجذور. الجذر الأكبر هو $2r = 2(-2) = -4$ والجذر الأصغر هو $r = -2$.

الآن نستخدم هذه الجذور للعثور على قيمة $k$:

نقارن هذه المعادلة مع المعادلة الأصلية $x^2 + 6x + k = 0$، ونجد أن $k = 8$.

إذاً، قيمة المتغير $k$ هي 8.

بدأنا بحساب الجذور باستخدام الصيغة العامة لحل المعادلة من الدرجة الثانية:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث $a$، $b$، و $c$ هي معاملات المعادلة $ax^2 + bx + c = 0$. في هذه المسألة، كانت المعادلة هي $x^2 + 6x + k = 0$، لذا $a=1$، $b=6$، و $c=k$. قمنا بحساب قيم الجذور باستخدام هذه الصيغة.

من ثم، استخدمنا النسبة المعطاة بأن الجذور غير الصفرية تكون في نسبة 2:1. فتوقعنا أن الجذور هي $2r$ و $r$، حيث $r$ هو النسبة. ثم قمنا بحساب قيمة $r$ باستخدام المعادلة $2r + r = -\frac{b}{a}$، ووجدنا أن $r = -2$.

بعد ذلك، عدنا للجذور واستخدمنا القيمة المحسوبة لـ $r$ للعثور على الجذور الفعلية: $-4$ و $-2$. ثم قمنا بكتابة المعادلة الخطية التي تحوي هذه الجذور والتي هي $(x+4)(x+2) = 0$.

أخذنا هذه المعادلة وفحصناها جنبًا إلى جنب مع المعادلة الأصلية، ووجدنا أن القيمة المناسبة للمتغير $k$ هي 8.

القوانين والخطوات المستخدمة في الحل:

1. صيغة حل المعادلة من الدرجة الثانية: استخدمنا الصيغة العامة لحل المعادلات من الدرجة الثانية للعثور على الجذور.
2. النسبة بين الجذور: استخدمنا المعلومة بأن الجذور غير الصفرية في نسبة 2:1 لحساب النسبة والجذور.
3. حساب الجذور بالنسبة: استخدمنا النسبة المحسوبة لحساب الجذور الفعلية.
4. كتابة المعادلة الجديدة: كتبنا المعادلة الجديدة باستخدام الجذور الفعلية.
5. مقارنة المعادلات: قارنا المعادلة الجديدة مع المعادلة الأصلية للعثور على قيمة المتغير $k$.

هذه الخطوات تعتمد على المفاهيم الرياضية الأساسية مثل صيغة الجذر والعمليات الجبرية الأساسية.