حلاً للدالة الرياضية: تحديد قيمة f(3) (مسألة رياضيات)

لنكن f(x) هو دالة رياضية، وفقًا للشرط المعطى: f(2x + 1) = 2f(x) + 1 لجميع الأعداد الحقيقية x، ومعرف أيضًا أن f(0) = 2. الهدف هو حساب قيمة f(3).

لنبدأ بفك تعبير f(2x + 1). نستخدم الشرط المعطى:
$f(2x + 1) = 2f(x) + 1$

لنجعل $2x + 1 = 0$ للعثور على f(x) بسهولة، نقوم بحل المعادلة $2x + 1 = 0$ للعثور على قيمة x:
$2x = -1$
$x = -\frac{1}{2}$

الآن نستخدم هذه القيمة في الشرط:
$f\left(2\left(-\frac{1}{2}\right) + 1\right) = 2f\left(-\frac{1}{2}\right) + 1$
$f(0) = 2f\left(-\frac{1}{2}\right) + 1$
$2 = 2f\left(-\frac{1}{2}\right) + 1$
$2 – 1 = 2f\left(-\frac{1}{2}\right)$
$1 = 2f\left(-\frac{1}{2}\right)$
$f\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}$

الآن نعرف قيمة f(x) عندما $x = -\frac{1}{2}$، لكننا بحاجة إلى قيمة f(3). نستخدم الشرط مرة أخرى:
$f(2x + 1) = 2f(x) + 1$

في هذه الحالة، نجعل $2x + 1 = 3$ لأننا نريد حساب قيمة f(3):
$2x + 1 = 3$
$2x = 2$
$x = 1$

الآن نستخدم هذه القيمة في الشرط:
$f(2 \times 1 + 1) = 2f(1) + 1$
$f(3) = 2f(1) + 1$

نعلم أيضًا أن $f\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}$ و $f(0) = 2$ و $f(1) = f\left(2 \times \frac{1}{2} + 1\right) = 2f\left(-\frac{1}{2}\right) + 1 = 2 \times \frac{1}{2} + 1 = 2$.

إذًا:
$f(3) = 2f(1) + 1 = 2 \times 2 + 1 = 4 + 1 = 5$

إذا كانت f(x) هي الدالة التي تحقق الشروط المطلوبة، فإن قيمة f(3) تكون 5.

لنقم بحل المسألة بتفصيل أكثر، وسنستخدم القوانين الرياضية المتبعة في الحل. القوانين المستخدمة هي:

1. تعريف الدالة: نعلم أن $f(2x + 1) = 2f(x) + 1$ و $f(0) = 2$.
2. حل المعادلة للعثور على x: قمنا بحل المعادلة $2x + 1 = 0$ للعثور على قيمة x.
3. تعويض القيمة المعروفة للعثور على قيمة الدالة في نقطة: استخدمنا القيمة المعروفة $x = -\frac{1}{2}$ للعثور على $f\left(-\frac{1}{2}\right)$.
4. استخدام القيمة المعروفة لحساب قيمة الدالة في نقطة أخرى: استخدمنا القيمة المعروفة $x = 1$ للعثور على $f(1)$.
5. تعويض القيمة المعروفة في المعادلة الأصلية للعثور على قيمة الدالة في نقطة أخرى: استخدمنا القيمة المعروفة $x = 1$ لحساب $f(3)$ باستخدام المعادلة الأصلية $f(2x + 1) = 2f(x) + 1$.

الآن، سنقدم الحل بشكل أكثر تفصيلاً:

الخطوة 1: تعريف الدالة
$f(2x + 1) = 2f(x) + 1$

الخطوة 2: حل المعادلة للعثور على x
$2x + 1 = 0$
$2x = -1$
$x = -\frac{1}{2}$

الخطوة 3: تعويض القيمة المعروفة للعثور على $f\left(-\frac{1}{2}\right)$
$f\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}$

الخطوة 4: استخدام القيمة المعروفة لحساب $f(1)$
$f(1) = 2$

الخطوة 5: تعويض القيمة المعروفة في المعادلة الأصلية للعثور على $f(3)$
$f(3) = 2f(1) + 1$
$f(3) = 2 \times 2 + 1$
$f(3) = 5$

لذا، قيمة الدالة $f(3)$ هي 5.