حلاً لتعبير رياضي: تبسيط وجمع الجذور (مسألة رياضيات)

التعبير الرياضي المعطى هو:
$\sqrt{45} – 2\sqrt{5} + \frac{\sqrt{360}}{\sqrt{2}} = \sqrt{N}$

لحساب قيمة $N$، نبدأ بتبسيط التعبير. نقوم بحساب الجذور التي تظهر في التعبير:

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = \sqrt{9} \times \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$

$\sqrt{360} = \sqrt{36 \times 10} = \sqrt{36} \times \sqrt{10} = 6\sqrt{10}$

وبتعويض هذه القيم في التعبير، نحصل على:

$3\sqrt{5} – 2\sqrt{5} + \frac{6\sqrt{10}}{\sqrt{2}}$

نقوم بضرب الكسر في $\sqrt{2}$ للتخلص من المقام:

$3\sqrt{5} – 2\sqrt{5} + \frac{6\sqrt{10}}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

الآن نجمع الأعداد المتشابهة:

$3\sqrt{5} – 2\sqrt{5} + \frac{6\sqrt{20}}{2}$

ونقوم بطرح $2\sqrt{5}$ من $3\sqrt{5}$:

$3\sqrt{5} – 2\sqrt{5} + 3\sqrt{10}$

الآن نقوم بجمع $3\sqrt{5} – 2\sqrt{5}$:

$1\sqrt{5} + 3\sqrt{10}$

أخيرًا، نقوم بترتيب الجذرين المتشابهين:

$\sqrt{5} + 3\sqrt{10}$

إذاً، القيمة المطلوبة لـ $N$ هي $5 + 10 \times 3 = 35$.

لحل هذه المسألة الرياضية، بدأنا بتبسيط التعبير المعطى:

$\sqrt{45} – 2\sqrt{5} + \frac{\sqrt{360}}{\sqrt{2}} = \sqrt{N}$

نستخدم القوانين الحسابية والجبرية لتبسيط الجذور الموجودة في التعبير. القوانين المستخدمة هي:

1. قاعدة جذر $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$
2. قاعدة جذر $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

باستخدام هذه القوانين، قمنا بتبسيط الجذور الموجودة في التعبير:

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = \sqrt{9} \times \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$

$\sqrt{360} = \sqrt{36 \times 10} = \sqrt{36} \times \sqrt{10} = 6\sqrt{10}$

ثم، قمنا بتعويض هذه القيم في التعبير الأصلي. في هذه المرحلة، استخدمنا قاعدة جذر للتخلص من المقام في الجذر:

$\frac{\sqrt{360}}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{10}}{2}$

ثم، جمعنا الأعداد المتشابهة وقمنا بترتيب الجذور المتشابهين. في هذه العمليات، استخدمنا قوانين الجمع والطرح للجذور:

$3\sqrt{5} – 2\sqrt{5} + \frac{6\sqrt{20}}{2} = 1\sqrt{5} + 3\sqrt{10}$

أخيرًا، نقوم بترتيب الجذرين المتشابهين للحصول على التعبير النهائي:

$\sqrt{5} + 3\sqrt{10}$

القانون الأساسي هو استخدام قوانين جبر الجذور وقوانين الجمع والطرح للجذور.