حلاً شاملاً لنظام من المعادلات الخطية

إذا كانت المعادلتين 4x + y = 8 و 3x – 4y = 5، فما هو قيمة التعبير 7x – 3y؟

لحل هذه المسألة، سنقوم بحساب قيمة x و y عن طريق حل المعادلتين المعطاة. سنبدأ بحل المعادلة الأولى:

4x + y = 8

نقوم بترتيب المعادلة للعثور على x:

4x = 8 – y

ثم نقسم على 4:

x = (8 – y)/4

الآن نقوم بتعويض قيمة x في المعادلة الثانية:

3x – 4y = 5

3[(8 – y)/4] – 4y = 5

نقوم بضرب الطرف الأيمن في 4 لتخلص من المقام في المعادلة:

3(8 – y) – 16y = 20

نقوم بحل المعادلة للعثور على قيمة y:

24 – 3y – 16y = 20

-19y = -4

y = 4/19

الآن، بعد حساب قيمة y، سنعيد تعويضها في المعادلة الأولى للعثور على قيمة x:

4x + (4/19) = 8

نقوم بحساب قيمة x:

4x = 8 – (4/19)

4x = (152 – 4)/19

4x = 148/19

x = 37/19

الآن، لنحسب قيمة التعبير 7x – 3y:

7x – 3y = 7(37/19) – 3(4/19)

= (259/19) – (12/19)

= 247/19

إذا كانت القيمة المطلوبة للتعبير 7x – 3y تساوي 247/19.

بالطبع، دعونا نوسع في تفاصيل حل المسألة ونستعرض الخطوات بشكل أكثر تفصيلاً، مستخدمين القوانين الرياضية المعتادة.

المعادلات المعطاة هي:

1. $4x + y = 8$
2. $3x – 4y = 5$

نبدأ بحل المعادلة الأولى للعثور على قيمة $x$:

$4x + y = 8$

نقوم بترتيب المعادلة بطرح $y$ من الجهة اليسرى:

$4x = 8 – y$

ثم نقوم بقسمة كل طرف على 4 للعثور على قيمة $x$:

$x = \frac{8 – y}{4}$

الآن، نعوض قيمة $x$ في المعادلة الثانية:

$3x – 4y = 5$

$3\left(\frac{8 – y}{4}\right) – 4y = 5$

نبسط الجهة اليسرى:

$\frac{3(8 – y)}{4} – 4y = 5$

نقوم بضرب كل طرف في 4 للتخلص من المقام:

$3(8 – y) – 16y = 20$

نقوم بحساب الجهة اليسرى:

$24 – 3y – 16y = 20$

$24 – 19y = 20$

$19y = 4$

$y = \frac{4}{19}$

الآن، بعد أن عرفنا قيمة $y$، سنعوضها في المعادلة الأولى للعثور على قيمة $x$:

$4x + \frac{4}{19} = 8$

نقوم بحساب قيمة $x$:

$4x = 8 – \frac{4}{19}$

$4x = \frac{152 – 4}{19}$

$4x = \frac{148}{19}$

$x = \frac{37}{19}$

الآن، لنحسب قيمة التعبير $7x – 3y$:

$7x – 3y = 7\left(\frac{37}{19}\right) – 3\left(\frac{4}{19}\right)$

نقوم بحساب الجهة اليمنى:

$= \frac{259}{19} – \frac{12}{19}$

$= \frac{247}{19}$

لذا، قيمة التعبير $7x – 3y$ هي $\frac{247}{19}$.

القوانين المستخدمة في هذا الحل تشمل قوانين الجمع والطرح والضرب والقسمة، وكذلك استخدام الخطوات الجبرية الأساسية لتبسيط المعادلات والتعبيرات الرياضية.