المزيج يحتوي على الكحول والماء بنسبة 4:3. إذا تم إضافة 5 لترات من الماء إلى المزيج ، يصبح النسبة 4:5. العثور على كمية الكحول في المزيج المعطى.
حل المسألة:
لنفترض أن كمية الكحول في المزيج الأصلي هي 4x وكمية الماء هي 3x (حيث x هو عامل التناسب).
بالنظر إلى النسبة الأصلية 4:3 ، يكون مجموع النسب 4x + 3x = 7x.
بعد إضافة 5 لترات من الماء ، يصبح مجموع الكميات 7x + 5.
وفقًا للنسبة الجديدة 4:5 ، نعيد تعريف الكميات بحيث:
الكحول = 4y
الماء = 5y (حيث y هو عامل التناسب الجديد).
الآن نقول أن الكمية الجديدة للماء بعد إضافة 5 لترات هي 3x + 5 لترات (لأن الماء الأصلي كان 3x وتمت إضافة 5 لترات).
لذا:
3x + 5 = 5y
3x = 5y – 5
x = (5y – 5)/3
الآن نضع هذا القيمة في المعادلة الأصلية (7x + 5) لنحسب قيمة y:
7((5y – 5)/3) + 5 = 7y + 5
(35y – 35)/3 + 5 = 7y + 5
35y – 35 + 15 = 21y + 15
35y – 21y = 20 + 35
14y = 50
y = 50/14
y = 25/7
الآن نعيد هذا القيمة إلى الكحول (4y) لنحسب كمية الكحول:
4 * (25/7) = 100/7
إذاً، كمية الكحول في المزيج الأصلي هي 100/7 لتر.
المزيد من المعلومات
لحل هذه المسألة، سنستخدم قاعدتين أساسيتين في التناسب الحسابي:
- قاعدة التناسب المباشر:
إذا كانت الكميات A و B تتناسب مع C و D، فإنها تتناسب مع C + D أيضًا. رمزياً، إذا كانتAB=CD\frac{A}{B} = \frac{C}{D}، فإن
AB=C+DB+D\frac{A}{B} = \frac{C+D}{B+D}.
- قاعدة التناسب العكسي:
إذا كانت الكميات A و B تتناسب مع C و D، فإنها تتناسب عكسيًا مع D و C. رمزياً، إذا كانتAB=CD\frac{A}{B} = \frac{C}{D}، فإن
AB=DC\frac{A}{B} = \frac{D}{C}.
الآن سنقوم بتفاصيل حل المسألة:
لنكن
xx هو عامل التناسب الأصلي بين كمية الكحول وكمية الماء. بناءً على النسبة الأولية 4:3، يمكننا كتابة المعادلة:
كمية الكحولكمية الماء=4x3x\frac{\text{كمية الكحول}}{\text{كمية الماء}} = \frac{4x}{3x}
عند إضافة 5 لترات من الماء، يصبح النسبة 4:5، لذا:
كمية الكحولكمية الماء + 5=45\frac{\text{كمية الكحول}}{\text{كمية الماء + 5}} = \frac{4}{5}
باستخدام قاعدة التناسب المباشر، نقوم بكتابة المعادلة:
4x3x+5=45\frac{4x}{3x + 5} = \frac{4}{5}
نقوم بحساب القيمة الجديدة لـ
xx باستخدام هذه المعادلة.
الآن، بمجرد أن نحصل على القيمة الجديدة لـ
xx، نستخدمها لحساب كمية الكحول الأصلية باستخدام النسبة الأصلية 4:3. كما أشرنا في الإجابة السابقة:
كمية الكحول=4x\text{كمية الكحول} = 4x
تمثل هذه الخطوات استخدام قوانين التناسب المباشر والتناسب المعكوس في حل المسألة.