حلاً رياضيًا لمسألة البقر والدواجن (مسألة رياضيات)

عدد الأرجل في مجموعة من البقر والدواجن يزيد عن ضعف عدد الرؤوس بمقدار 8. إذا كان عدد الرؤوس هو “ص”، فإن عدد الأرجل يكون 2ص + 8. لتحديد عدد الأرجل وعدد الرؤوس، يجب معرفة عدد البقر والدواجن في المجموعة. إذا كان عدد البقر هو “ب” وعدد الدواجن هو “د”، يمكننا إيجاد عدد الأرجل وعدد الرؤوس باستخدام العلاقات التالية:

عدد الأرجل = (عدد البقر * 4) + (عدد الدواجن * 2)
عدد الرؤوس = عدد البقر + عدد الدواجن

وبناءً على الشرط المعطى، يمكن كتابة المعادلة التي تعبر عن العلاقة بين عدد الرؤوس وعدد الأرجل كالتالي:

2ص + 8 = (ب * 4) + (د * 2)

الآن، يمكننا استخدام معادلات الأرجل والرؤوس لإيجاد قيم للمتغيرات. قد يكون لدينا عدة حلول، ولكن للتبسيط، سنفترض أن عدد الدواجن يساوي صفر (د = 0)، وبالتالي:

2ص + 8 = ب * 4

نقوم بحل المعادلة للحصول على قيمة “ص”:

2ص = 4ب – 8
ص = 2ب – 4

الآن نستخدم هذه القيمة في المعادلة الأصلية للتحقق من صحتها وللحصول على قيمة “ب” النهائية:

2(2ب – 4) + 8 = (ب * 4) + (0 * 2)
4ب – 8 + 8 = 4ب
4ب = 4ب

المعادلة صحيحة، وبالتالي يكون الحل هو:

عدد البقر (ب) = 2
عدد الدواجن (د) = 0

إذا كان لدينا 2 بقرة ولا دجاجة في المجموعة، فإن عدد الرؤوس يكون 2، وعدد الأرجل يكون 16.

لنقم بحل المسألة بشكل أكثر تفصيلاً باستخدام قوانين الرياضيات. لنعيد صياغة المعادلة ونستخدم قوانين الجمع والضرب:

لنعبر عن عدد الرؤوس بـ “ص”، وعدد الأرجل بـ “أ”. وفقًا للشرط المعطى:

$أ = 2ص + 8$

ونعلم أيضًا أن عدد الأرجل يتكون من أربعة أرجل لكل بقرة واثنتين لكل دجاجة. إذاً:

$أ = (4 \times ب) + (2 \times د)$

نعلم أيضًا أن عدد الرؤوس هو مجموع عدد البقر والدواجن:

$ص = ب + د$

الآن لنقم بحل هذه المعادلات. لنستخدم العلاقة الثالثة للتعبير عن عدد الدواجن بالناءِِِِِِِِِِسبة إلى عدد البقر، حيث:

$د = ص – ب$

الآن نستخدم هذه القيمة في المعادلة الثانية:

$أ = (4 \times ب) + (2 \times (ص – ب))$

ونقوم بتوسيع المعادلة:

$أ = 4ب + 2ص – 2ب$

ثم نقوم بتعويض قيمة $ص$ من المعادلة الثالثة:

$أ = 4ب + 2(ص – ب) – 2ب$

نبسط المعادلة:

$أ = 4ب + 2ص – 2ب – 2ب$

ثم نستخدم المعادلة الأولى ($أ = 2ص + 8$) لتعويض قيمة $أ$:

$2ص + 8 = 4ب + 2ص – 2ب – 2ب$

نقوم بتبسيط المعادلة:

$8 = 2ص – 2ب – 2ب$

نقوم بجمع 2ب من الطرفين:

$8 + 2ب = 2ص – 2ب$

ثم نقوم بتقسيم الطرفين على 2:

$4 + ب = ص – ب$

نضيف ب إلى الطرف الآخر:

$ص = 4 + 2ب$

الآن لنعوض قيمة $ص$ في المعادلة الثانية ($أ = 2ص + 8$):

$أ = 2(4 + 2ب) + 8$

نوسع المعادلة:

$أ = 8 + 4ب + 8$

نجمع الطرفين:

$أ = 4ب + 16$

وهذه المعادلة تعبر عن العلاقة بين عدد الأرجل وعدد البقر. الآن لنقم بمطابقة هذه العلاقة مع العلاقة الأولى ($أ = 2ص + 8$):

$4ب + 16 = 2ص + 8$

نقوم بتقسيم الطرفين على 2:

$2ب + 8 = ص + 4$

نقوم بطرح 4 من الطرفين:

$2ب + 4 = ص$

وهذه العلاقة تتوافق مع العلاقة الثالثة ($ص = 4 + 2ب$). إذًا، قد تم التحقق من صحة العلاقات. الآن لنجد قيمة $ص$:

$ص = 4 + 2ب$

إذاً، لدينا:

$د = ص – ب = (4 + 2ب) – ب = 4 + b$

إذا كان $ب = 2$، نجد:

$ص = 4 + 2(2) = 8$

$د = 4 + 2 = 6$

إذًا، عدد البقر هو 2، وعدد الدواجن هو 6. يمكننا التحقق من العلاقة الأولى ($أ = 2ص + 8$):

$أ = 2(8) + 8 = 16 + 8 = 24$

والعلاقة الثانية ($أ = 4ب + 16$):

$أ = 4(2) + 16 = 8 + 16 = 24$

إذًا، نجد أن عدد الأرجل هو 24، وهذا يتفق مع الشرط الذي قدم في بداية المسألة.

القوانين المستخدمة:

1. قانون الجمع والطرح: استخدمنا قوانين الجمع والطرح لتبسيط وتعويض المعادلات.
2. قانون الضرب: استخدمنا قوانين الضرب لتعبير عن عدد الأرجل باستخدام عدد البقر والدواجن.
3. التعبير الرياضي: استخدمنا تعابير رياضية لتعبير عن العلاقات بين عدد الرؤوس وعد