حلاً رياضيًا: حاسبة أبعاد الحديقة المستطيلة بشكل فعّال

طول حديقة مستطيلة يزيد عن ثلاث مرات عرضها بمقدار قدمين. إذا كان محيط الحديقة يبلغ 100 قدم، فما هو طول الحديقة؟

الحل:
لنمثل عرض الحديقة بـ $w$ قدمًا، إذاً الطول سيكون $3w + 2$ قدمًا (لأن الطول أطول بـ 2 أقدام من ثلاث مرات العرض).

المحيط للمستطيل يُحسب بمجرد جمع طول الأضلاع الأربعة. لذا، يمكننا كتابة المعادلة التي تعبر عن المحيط كما يلي:

$P = 2(w + (3w + 2))$

حيث $P$ هو المحيط ويُعطى بأنه 100 قدم. الآن، يتعين علينا حل المعادلة للعثور على قيمة $w$.

$100 = 2(w + 3w + 2)$

قم بحساب ذلك:

$100 = 2(4w + 2)$

قسم كلا الجانبين على 2:

$50 = 4w + 2$

طرح 2 من الجانبين:

$48 = 4w$

قسم على 4:

$w = 12$

الآن نعلم قيمة العرض $w$، يمكننا حساب الطول باستخدام العلاقة التي ربطته بالعرض:

$\text{الطول} = 3w + 2$

$\text{الطول} = 3(12) + 2$

$\text{الطول} = 38$

إذاً، طول الحديقة هو 38 قدمًا.

لنقوم بحل هذه المسألة بمزيد من التفاصيل والتفسير. نبدأ بتعريف القوانين المستخدمة في الحل:

1. معادلة المحيط للمستطيل:
   يُمكننا حساب محيط المستطيل عن طريق جمع طوليه وعرضيه مضروبة في 2 (نظراً لأن كل طول يتم جمعه مرتين – الجهة العلوية والسفلية).

   $P = 2(l + w)$

   حيث $P$ هو المحيط، $l$ هو الطول، و $w$ هو العرض.

2. العلاقة بين الطول والعرض:
   وفقاً للمعلومات المعطاة، يُمكننا القول إن الطول هو 2 قدم أطول من 3 مرات العرض.

   $l = 3w + 2$

الخطوات الرئيسية في الحل:

أولاً، نعبر عن الطول بالعرض باستخدام المعادلة الثانية:

$P = 2((3w + 2) + w)$

نبسط المعادلة:

$100 = 2(4w + 2)$

نقسم على 2:

$50 = 4w + 2$

نطرح 2:

$48 = 4w$

نقسم على 4:

$w = 12$

الآن نحدد قيمة العرض $w$، ونستخدمها لحساب الطول بواسطة المعادلة الثانية:

$l = 3w + 2$

$l = 3(12) + 2$

$l = 36 + 2$

$l = 38$

إذاً، العرض هو 12 قدمًا والطول هو 38 قدمًا. تمثل هذه الأرقام أبعاد المستطيل المطلوب.