حلاً رياضيًا: تقسيم الطلاب بمجموعات

عدد مجموعة من الطلاب n يمكن تقسيمه إلى مجموعات متساوية بحيث تكون كل مجموعة تحتوي على 3 طلاب مع بقاء طالب واحد، أو يمكن تقسيمه إلى مجموعات متساوية بحيث تكون كل مجموعة تحتوي على 6 طلاب مع بقاء طالب واحد. ما هو مجموع أصغر قيمتين ممكنتين لـ n؟

لحل هذه المشكلة، لنقم بتجريب قيم مختلفة لـ n لنتأكد أن تلبية الشروط. يمكننا استخدام عبارة رياضية لوصف الوضع:

$n \equiv 1 \pmod{3}$
$n \equiv 1 \pmod{6}$

حيث يعبر الرمز “$\equiv$” عن التوافق أو الاستقراء.

قد نلاحظ أن أصغر عدد يلبي هذه الشروط هو 7. لأن:
$7 \equiv 1 \pmod{3}$
$7 \equiv 1 \pmod{6}$

كما يمكننا أيضًا التحقق من أن 13 يلبي الشروط أيضًا:
$13 \equiv 1 \pmod{3}$
$13 \equiv 1 \pmod{6}$

المجموع الأصغر بين هذين العددين هو $7 + 13 = 20$. إذاً، المجموع الذي نبحث عنه هو 20.

لحل هذه المسألة، نستخدم مفهوم الاستقراء والتحليل الرياضي للتعبير عن الشروط المطلوبة. سنقوم بفحص الأعداد التي ترتبط بالشروط المعطاة في المسألة.

الشروط المعطاة:
$n \equiv 1 \pmod{3}$
$n \equiv 1 \pmod{6}$

نحن بحاجة إلى أن يكون عدد الطلاب $n$ بفارق واحد عن مضاعفات كل من 3 و 6. يمكننا استخدام قاعدة الاستقراء للتحقق من ذلك.

1. بالنسبة لـ $n \equiv 1 \pmod{3}$:

   • نبدأ بالتحقق من الأعداد بفارق 1 عن مضاعفات 3.
   • 1 (يتوافق)، 4 (لا يتوافق)، 7 (يتوافق)، 10 (لا يتوافق)، 13 (يتوافق)، …

2. بالنسبة لـ $n \equiv 1 \pmod{6}$:

   • نبدأ بالتحقق من الأعداد بفارق 1 عن مضاعفات 6.
   • 1 (يتوافق)، 7 (يتوافق)، 13 (يتوافق)، 19 (يتوافق)، …

نجد أن أول عددين يلبيان الشرطين هما 7 و 13. وبما أننا نبحث عن المجموع، فإن أصغر مجموع لهما هو $7 + 13 = 20$.

القوانين المستخدمة:

1. قاعدة الاستقراء:
   • يُستخدم للتحقق من صحة تصريح رياضي عند جميع الأعداد الطبيعية أو عند فئة معينة من الأعداد.
   • في هذه الحالة، قمنا بتحقق الشروط لفئة الأعداد التي تحقق $n \equiv 1 \pmod{3}$ و$n \equiv 1 \pmod{6}$.

إذاً، بواسطة فحص الأعداد واستخدام قاعدة الاستقراء، تم التوصل إلى الحل النهائي الذي هو $n = 20$ كأصغر مجموع يفي بالشروط المطلوبة.