مسائل رياضيات

حلاً رياضيًا: الحد الأدنى لـ $a^2 + b^2$ مع $a + b = t$ (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 13/01/2024
2

إذا كانت $a$، $b$، و$t$ أعدادًا حقيقية بحيث $a + b = t$، فما هو القيمة الدنيا للتعبير $a^2 + b^2$ بالنسبة لـ $t$؟

حل المسألة:

مواضيع ذات صلة

لنقم بحساب $a^2 + b^2$ بشكل عام:

a2+b2=(a+b)2−2aba^2 + b^2 = (a + b)^2 – 2ab

وبما أننا نعلم أن $a + b = t$، يمكننا استبداله في المعادلة:

a2+b2=t2−2aba^2 + b^2 = t^2 – 2ab

لكننا بحاجة للتفكير في كيفية التعبير عن $ab$ بناءً على المعلومات المعطاة. لهذا، نستخدم المعلومة الإضافية $a + b = t$ ونحسب $ab$ بالتالي:

ab=(a+b)2−a2−b22ab = \frac{(a + b)^2 – a^2 – b^2}{2}

نواجه الآن مع معادلتين:

a2+b2=t2−2aba^2 + b^2 = t^2 – 2ab
ab=(a+b)2−a2−b22ab = \frac{(a + b)^2 – a^2 – b^2}{2}

قم بحساب $ab$ في المعادلة الثانية:

ab=t2−a2−2ab−b22ab = \frac{t^2 – a^2 – 2ab – b^2}{2}

ومن ثم، ضع قيمة $ab$ في المعادلة الأولى:

a2+b2=t2−2(t2−a2−2ab−b22)a^2 + b^2 = t^2 – 2 \left(\frac{t^2 – a^2 – 2ab – b^2}{2}\right)

قم بتبسيط الفقرات وحساب القيم:

a2+b2=t2−(t2−a2−2ab−b2)a^2 + b^2 = t^2 – (t^2 – a^2 – 2ab – b^2)

الآن، قم بمجموعة الأعضاء المماثلة:

a2+b2=t2−t2+a2+2ab+b2a^2 + b^2 = t^2 – t^2 + a^2 + 2ab + b^2

أخيرًا، قم بإلغاء العناصر المتشابهة:

a2+b2=2ab+2t2−2t2a^2 + b^2 = 2ab + 2t^2 – 2t^2

النتيجة النهائية:

a2+b2=2aba^2 + b^2 = 2ab

الآن، بالتعويض بقيمة $ab$:

a2+b2=2(t2−a2−2ab−b22)a^2 + b^2 = 2\left(\frac{t^2 – a^2 – 2ab – b^2}{2}\right)

قم بتبسيط المعادلة:

a2+b2=t2−a2−b2a^2 + b^2 = t^2 – a^2 – b^2

أخيرًا، قم بجمع $a^2$ و $b^2$ على جهة واحدة:

2a2+2b2=t22a^2 + 2b^2 = t^2

وبالتالي، نحصل على:

a2+b2=t22a^2 + b^2 = \frac{t^2}{2}

إذا كانت $a$، $b$، و$t$ هي أعداد حقيقية تحقق الشرط $a + b = t$، فإن القيمة الدنيا لـ $a^2 + b^2$ تكون $\frac{t^2}{2}$.

المزيد من المعلومات

لنقم بحل المسألة بمزيد من التفاصيل وذلك باستخدام بعض القوانين الرياضية.

المسألة تتعلق بالبحث عن القيمة الدنيا لـ $a^2 + b^2$ عندما $a + b = t$.

لنبدأ بتعريف قانون هام في الجبر:

  1. قانون التوسيع (Binomial Expansion):
    (x+y)2=x2+2xy+y2(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2

نستخدم هذا القانون لتوسيع $(a + b)^2$:
(a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

ثم نستخدم المعلومة المعطاة $a + b = t$:
(a+b)2=a2+2ab+b2=t2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = t^2

الآن، لنعبر عن $a^2 + b^2$ بوساطة هذه المعادلة:

a2+b2=t2−2aba^2 + b^2 = t^2 – 2ab

نعلم أيضًا أن ab=(a+b)2−a2−b22ab = \frac{(a + b)^2 – a^2 – b^2}{2} وذلك باستخدام قانون التوسيع مرة أخرى. يمكننا استخدام هذه المعلومة لتعويض قيمة $ab$ في المعادلة السابقة:

a2+b2=t2−2((a+b)2−a2−b22)a^2 + b^2 = t^2 – 2\left(\frac{(a + b)^2 – a^2 – b^2}{2}\right)

قم بتبسيط الفقرات:

a2+b2=t2−(t2−a2−b2)a^2 + b^2 = t^2 – (t^2 – a^2 – b^2)

أكمل التبسيط:

a2+b2=2a2+2b2−t2a^2 + b^2 = 2a^2 + 2b^2 – t^2

الآن، جمع الأعضاء المماثلة:

a2+b2=2a2+2b2−t2a^2 + b^2 = 2a^2 + 2b^2 – t^2

a2+b2=2(a2+b2)−t2a^2 + b^2 = 2(a^2 + b^2) – t^2

وأخيرًا، جمع t2t^2 على جهة واحدة:

a2+b2+t2=2(a2+b2)a^2 + b^2 + t^2 = 2(a^2 + b^2)

أقسم الطرفين على 2:

a2+b22+t22=a2+b2\frac{a^2 + b^2}{2} + \frac{t^2}{2} = a^2 + b^2

بمراعاة أن a+b=ta + b = t، يمكننا استبدال a2+b2a^2 + b^2 ب t22\frac{t^2}{2}:

t22+t22=a2+b2\frac{t^2}{2} + \frac{t^2}{2} = a^2 + b^2

وبالتالي:

a2+b2=t22a^2 + b^2 = \frac{t^2}{2}

القوانين المستخدمة:

  1. قانون التوسيع (Binomial Expansion): يتيح لنا توسيع $(x + y)^2$ إلى $x^2 + 2xy + y^2$.
  2. قانون استبدال القيم (Substitution): استخدمنا معلومة $a + b = t$ لتبديل في المعادلات وتبسيط الحسابات.

باستخدام هذه القوانين، تمكنا من الوصول إلى الإجابة النهائية التي هي a2+b2=t22a^2 + b^2 = \frac{t^2}{2}.

اخر تحديث 13/01/2024
2