حلاً رياضيًا: البحث عن أكبر قيمة لـ $b$ (مسألة رياضيات)

المطلوب هو إيجاد أكبر قيمة صحيحة للمتغير $b$ بحيث لا يكون الرقم $-4$ ضمن نطاق الدالة التالية: $y=x^2+bx+12$

لحل هذه المسألة، يمكننا البدء بفحص الظروف التي يجب أن تتحقق لكي يكون $-4$ خارج نطاق الدالة. يتوجب علينا التحقق من عدم وجود حلاً للمعادلة التربيعية $x^2+bx+12=-4$.

لنقم بحساب القيم الممكنة للمتغير $b$ عبر معالجة هذه المعادلة. نقوم بإحضار الرقم $4$ إلى الجهة اليمنى:

$x^2 + bx + 16 = 0$

الآن، يمكننا استخدام الصيغة العامة لحل المعادلة التربيعية:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث $a = 1$، $b = b$، و $c = 16$.

الآن، نحتاج إلى التحقق مما إذا كان هناك حلاً للمعادلة. إذا كان جزء الجذر الرباعي $b^2 – 4ac$ أقل من صفر، فإن المعادلة ليس لها حلاً حقيقيًا. لذا، يجب على $b^2 – 4ac$ أن يكون أكبر من أو يساوي صفر.

$b^2 – 4 \cdot 1 \cdot 16 \geq 0$

$b^2 – 64 \geq 0$

الآن، نقوم بحساب القيم الممكنة لـ $b$:

$b^2 \geq 64$

$b \geq 8 \text{ أو } b \leq -8$

إذاً، أكبر قيمة صحيحة لـ $b$ هي $8$.

لذا، الإجابة النهائية هي: أكبر قيمة صحيحة لـ $b$ هي $8$.

بالطبع، دعونا نقوم بفحص تلك المسألة بشكل أكثر تفصيلاً ونذكر القوانين والخطوات المستخدمة في الحل.

المسألة تتطلب منا البحث عن أكبر قيمة للمتغير $b$ بحيث يكون الرقم $-4$ خارج نطاق الدالة التربيعية $y=x^2+bx+12$.

الخطوة الأولى تكون في تكوين المعادلة التربيعية التي تعبر عن الوظيفة، وفي هذه الحالة تكون المعادلة $y=x^2+bx+12$.

الخطوة التالية تكون في تحديد الشرط الذي يجعل الرقم $-4$ خارج نطاق الدالة. هذا يحدث عندما لا يوجد حلاً للمعادلة التربيعية $x^2+bx+12=-4$، أي عندما يكون جزء الجذر الرباعي $b^2 – 4ac$ أقل من صفر.

القانون المستخدم هو صياغة الحل للمعادلة التربيعية باستخدام الصيغة العامة: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$. حيث $a$ و $c$ هما معاملات المربع والثابت على التوالي، ونحن نستخدم الجذر التربيعي للتحقق مما إذا كانت المعادلة لها حلاً أم لا.

القانون الآخر المستخدم يتعلق بشروط وجود الحلول الحقيقية للمعادلة، والذي يتطلب أن يكون الجزء تحت الجذر التربيعي ($b^2 – 4ac$) أكبر من أو يساوي صفر.

في هذه المسألة، حللنا المعادلة التربيعية ووجدنا أن $b^2 – 64 \geq 0$ هو الشرط الذي يضمن وجود حلاً. من هنا، توصلنا إلى أن أكبر قيمة صحيحة لـ $b$ هي $8$.

تلخيصًا، استخدمنا الصيغة العامة للحل للمعادلة التربيعية وشرط وجود حلاً حقيقيًا للتحقق من عدم تواجد الرقم $-4$ في نطاق الدالة.