حلاً رياضيًا: استثمار الأموال بين الفائدة البسيطة والمركبة (مسألة رياضيات)

المبلغ المستثمر في الفائدة البسيطة لمدة عامين بنسبة 8٪ هو نصف المبلغ المستثمر في الفائدة المركبة لمدة عامين بنسبة 10٪ على مبلغ 4000 روبية. ما هو المبلغ الذي تم استثماره في الفائدة البسيطة؟

حل المسألة:

لنحل هذه المسألة، دعونا نمثل المبلغ الذي تم استثماره في الفائدة البسيطة بـ $P$ روبية.

الفائدة البسيطة (S.I.) لمدة عامين تُحسب بواسطة الصيغة:

$\text{S.I.} = P \times R \times T \div 100$

حيث:

• $P$ هو المبلغ المستثمر.
• $R$ هو معدل الفائدة البسيطة.
• $T$ هو الوقت بالأعوام.

ونعلم أن السندات البسيطة تساوي نصف الفائدة المركبة، لذلك:

$\text{S.I.} = \frac{1}{2} \times \text{C.I.}$

الآن، لنحسب الفائدة المركبة (C.I.) لمدة عامين بواسطة الصيغة:

$\text{C.I.} = P \times \left(1 + \frac{R}{100}\right)^T – P$

حيث:

• $P$ هو المبلغ المستثمر.
• $R$ هو معدل الفائدة المركبة.
• $T$ هو الوقت بالأعوام.

في هذه المسألة، $R = 10٪$ و $T = 2$ سنة، ونعلم أن قيمة الفائدة المركبة تساوي 4000 روبية، لذا:

$\text{C.I.} = P \times \left(1 + \frac{10}{100}\right)^2 – P = 4000$

بعد ذلك، يمكننا حل هذه المعادلة للعثور على قيمة $P$، وهي المبلغ المستثمر في الفائدة البسيطة.

$P \times \left(1 + \frac{10}{100}\right)^2 – P = 4000$

$P \times \left(1 + \frac{1}{10}\right)^2 – P = 4000$

$P \times \left(\frac{11}{10}\right)^2 – P = 4000$

$P \times \frac{121}{100} – P = 4000$

$1.21P – P = 4000$

$0.21P = 4000$

$P = \frac{4000}{0.21}$

$P \approx 19047.62$

إذا كان المبلغ المستثمر في الفائدة البسيطة حوالي 19047.62 روبية.

بالطبع، دعونا نوسع على حل المسألة بمزيد من التفاصيل وذلك باستخدام القوانين والصيغ الرياضية المعتمدة في الحل.

لنكتب المسألة بشكل أوسع ونستخدم الرموز لتمثيل المتغيرات:
“لنكن $P$ هو المبلغ المستثمر في الفائدة البسيطة لمدة عامين بنسبة 8٪، ولنكن $C$ هو المبلغ المستثمر في الفائدة المركبة لمدة عامين بنسبة 10٪ على مبلغ 4000 روبية.”

القوانين المستخدمة:

1. صيغة الفائدة البسيطة (S.I.):
   $\text{S.I.} = P \times R \times T \div 100$

2. صيغة الفائدة المركبة (C.I.):
   $\text{C.I.} = P \times \left(1 + \frac{R}{100}\right)^T – P$

3. العلاقة بين الفائدة البسيطة والفائدة المركبة:
   $\text{S.I.} = \frac{1}{2} \times \text{C.I.}$

الآن، سنقوم بحساب القيم باستخدام هذه القوانين:

1. حساب الفائدة المركبة (C.I.):
   $\text{C.I.} = P \times \left(1 + \frac{R}{100}\right)^T – P$
   $\text{C.I.} = P \times \left(1 + \frac{10}{100}\right)^2 – P = 4000$

2. حساب الفائدة البسيطة (S.I.):
   $\text{S.I.} = \frac{1}{2} \times \text{C.I.}$
   $P \times R \times T \div 100 = \frac{1}{2} \times \left(P \times \left(1 + \frac{10}{100}\right)^2 – P\right)$

3. حل المعادلة للعثور على قيمة $P$ (المبلغ المستثمر في الفائدة البسيطة):
   $P \times \left(1 + \frac{10}{100}\right)^2 – P = 4000$
   $P \times \frac{121}{100} – P = 4000$
   $0.21P = 4000$
   $P = \frac{4000}{0.21}$
   $P \approx 19047.62$

إذا كان المبلغ المستثمر في الفائدة البسيطة حوالي 19047.62 روبية، وتم استخدام القوانين المذكورة أعلاه لحساب هذا المبلغ.