حلاً رياضيًا: إكمال المربع والقيم الدنيا (مسألة رياضيات)

قم بإيجاد القيم الدنيا للتعبير $x^2 + y^2 – 6x + 4y + 18$ حيث $x$ و $y$ هما أعداد حقيقية.

لحل هذه المسألة، نبدأ باتباع خطوات التحليل الرياضي. لنجد القيمة الدنيا للتعبير المعطى، يمكننا استخدام إكمال المربع. لنبدأ بتجميع المربعات المتشابهة:

$(x^2 – 6x) + (y^2 + 4y) + 18$

الخطوة التالية تكمن في إكمال المربع، حيث نحتاج إلى إضافة وتحجيم مصطلحين إضافيين. لدينا:

$(x^2 – 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) + 18 – 9 – 4$

الآن يمكننا كتابة التعبير بصورة مطابقة:

$(x – 3)^2 + (y + 2)^2 + 5$

التعبير $(x – 3)^2 + (y + 2)^2$ هو عبارة عن مربعين، وبما أنهما يكونان دائمًا غير سالبين، فإن القيمة الدنيا للتعبير الأصلي هي 5 (الجزء الثابت في التعبير).

إذاً، القيمة الدنيا للتعبير $x^2 + y^2 – 6x + 4y + 18$ هي 5، وتتحقق عندما يكون $x = 3$ و $y = -2$.

لحل هذه المسألة، سنستخدم إكمال المربع ونعتمد على القوانين الرياضية المتعلقة بهذه الطريقة. سنقوم بتحويل التعبير $x^2 + y^2 – 6x + 4y + 18$ إلى صيغة مربعية كاملة.

التعبير المعطى هو:
$x^2 + y^2 – 6x + 4y + 18$

نريد تحويله إلى صيغة مربعية كاملة. للقيام بذلك، نبدأ بجمع المصطلحات المتشابهة:
$(x^2 – 6x) + (y^2 + 4y) + 18$

ثم نقوم بإضافة وتحجيم مصطلحين إضافيين لاستكمال المربع:
$(x^2 – 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) + 18 – 9 – 4$

الآن يمكننا كتابة التعبير بصورة مطابقة:
$(x – 3)^2 + (y + 2)^2 + 5$

حيث أننا قمنا بإكمال المربع للمصطلحين $x^2 – 6x$ و $y^2 + 4y$.

القوانين المستخدمة:

1. قانون إكمال المربع: هو الخطوة الرئيسية في هذا الحل. يتم استخدامه لتحويل تعبير ثنائي إلى صيغة مربعية كاملة.
2. خواص المربع الكامل: نعلم أن المربع الكامل دائمًا يكون غير سالب، ولذا فإن القيمة الدنيا للتعبير تحدث عندما يكون المربع الكامل صفريًا.

لدينا الآن التعبير النهائي:
$(x – 3)^2 + (y + 2)^2 + 5$

ونجد أن القيمة الدنيا للتعبير الأصلي هي 5، وتحدث عندما تكون $x = 3$ و $y = -2$.