حلاً رياضياً: مثلث يتساوى مساحته مع محيطه ونصف قطر الدائرة المدورة (مسألة رياضيات)

في مثلث ما، تكون المساحة (المساحة) رقمياً متساوية لمحيط المثلث. ما هو نصف قطر الدائرة المدورة؟
$\text{(أ) } 2\quad \text{(ب) } 3\quad \text{(ج) } 4\quad \text{(د) } 5\quad \text{(هـ) } 6$

حل المسألة:
لنقم بتسمية أطوال أضلاع المثلث بـ $a$، $b$، و $c$، ونقوم بحساب المساحة والمحيط باستخدام الصيغ الرياضية المعتادة. لدينا:
$\text{المساحة} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
حيث $s$ هو نصف المحيط ($s = \frac{a+b+c}{2}$)، والمحيط هو مجموع أطوال الأضلاع ($\text{المحيط} = a+b+c$).

وفي هذه المسألة، نعرف أن المساحة تكون متساوية للمحيط، لذلك:
$\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = a+b+c$
نربع الطرفين للتخلص من الجذر، ونقوم بتبسيط الجهة اليمنى:
$s(s-a)(s-b)(s-c) = (a+b+c)^2$

نستخدم الصيغ لحساب $s$ ونعوض قيم الأطوال:
$\left(\frac{a+b+c}{2}\right)\left(\frac{a+b-c}{2}\right)\left(\frac{a-b+c}{2}\right)\left(\frac{-a+b+c}{2}\right) = (a+b+c)^2$

نقوم بإزالة الكسور ونبسط الصيغة:
$(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c) = 4(a+b+c)^2$

الآن، نقوم بإيجاد علاقة بين نصف قطر الدائرة المدورة ($r$) وأطوال الأضلاع باستخدام المساحة ونصف المحيط:
$\text{المساحة} = rs$

نعوض قيم المساحة ونصف المحيط في الصيغة:
$\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = r \cdot \frac{a+b+c}{2}$

نقوم بتبسيط الطرف الأيسر ونربع الطرفين:
$r^2 \cdot (a+b+c)^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$

نستخدم العلاقة التي وجدناها في المرحلة السابقة ($s(s-a)(s-b)(s-c) = (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)$):
$r^2 \cdot (a+b+c)^2 = (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)$

نقوم بإلغاء عامل مشترك ($a+b+c$) من الطرفين:
$r^2 \cdot (a+b+c) = (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)$

نقوم بإلغاء عامل مشترك آخر ($a+b-c$) من الطرفين:
$r^2 = (-a+b+c)(a-b+c)$

نقوم بضرب الطرفين في $-1$ لتبسيط الصيغة:
$r^2 = (a-b+c)(a-b+c)$

نقوم بإيجاد علاقة بين $r$ وأطوال الأضلاع:
$r = \sqrt{(a-b+c)(a-b+c)}$

نقوم بتعويض قيم الأضلاع ونبسط الصيغة:
$r = \sqrt{(2a)(2a)} = \sqrt{4a^2} = 2a$

إذاً، نصف قطر الدائرة المدورة يكون مساوياً لضعف طول أحد أضلاع المثلث. وحيث أن $a$ هو طول أحد الأضلاع، فإن $r = 2a$.

إذاً، الجواب الصحيح هو $\text{(أ) } 2$.

بالتأكيد، سأوضح المزيد من التفاصيل حول حل المسألة والقوانين التي تم استخدامها.

لنقم بتسمية الأضلاع في المثلث بـ $a$، $b$، و $c$، حيث $a$ هو طول أحد الأضلاع. لدينا القوانين التالية التي تمثل المساحة ($A$) والمحيط ($P$) للمثلث:

1. مساحة المثلث (قاعدة هيرون):
   $A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
   حيث $s$ هو نصف المحيط ($s = \frac{a+b+c}{2}$).

2. المحيط:
   $P = a + b + c$

نعلم أيضاً أن $A$ تكون متساوية لـ $P$، لذا:
$A = P$

نستخدم هذه المعلومات لحساب قيمة $a$ ومن ثم نجد نصف قطر الدائرة المدورة ($r$).

حساب قيمة $a$:
نقوم بإعادة صياغة المعادلة بحيث $A$ تكون مساوية لـ $P$:
$\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = a+b+c$

نربع الطرفين:
$s(s-a)(s-b)(s-c) = (a+b+c)^2$

نستخدم قاعدة هيرون ونحل المعادلة.

حساب قيمة $r$:
نعلم أن $A = rs$ حيث $r$ هو نصف قطر الدائرة المدورة، و $s$ هو نصف المحيط. نستخدم هذه المعلومة للحصول على المعادلة:
$\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = r \cdot \frac{a+b+c}{2}$

نقوم بتبسيط الصيغة ونحسب $r^2$.

علاقة $r$ مع أطوال الأضلاع:
نجد علاقة نصف قطر الدائرة المدورة ($r$) بأطوال الأضلاع ($a$, $b$, $c$) باستخدام العلاقة:
$r^2 = (a-b+c)(a+b-c)$

نستخدم القوانين المذكورة أعلاه لحساب قيم $a$ و $r$. الآن، لنقم بتعويض قيمة $a$ في العلاقة $r$ للحصول على نصف قطر الدائرة المدورة:
$r = \sqrt{(a-b+c)(a+b-c)}$

نقوم بتعويض قيم الأضلاع ونقوم بالحسابات اللازمة.

القوانين المستخدمة:

1. قاعدة هيرون لحساب مساحة المثلث.
2. المعادلة التي تربط مساحة المثلث بالمحيط.
3. علاقة $A = rs$ بين مساحة المثلث ($A$) ونصف قطر الدائرة المدورة ($r$) ونصف المحيط ($s$).
4. علاقة بين $r$ وأطوال الأضلاع ($a$, $b$, $c$).

باستخدام هذه القوانين، نستطيع حل المسألة بدقة وإيجاد القيم المطلوبة.