حلاً رياضياً: متوسط حسابي بين w و x (مسألة رياضيات)

إذا كان $\frac{3}{w} + \frac{3}{x} = \frac{3}{y}$ وكانت $wx = y$، فإن المتوسط الحسابي (المتوسط الحسابي) بين $w$ و $x$ يمكن حسابه كالتالي:

لحل المعادلة، نبدأ بتوحيد المقامات في المعادلة $\frac{3}{w} + \frac{3}{x} = \frac{3}{y}$. نقوم بضرب كل جانب في $wxy$ لتوحيد المقامات:

$3xy + 3wy = 3wx$

الآن نقوم بتجميع الأعضاء المتشابهة وتبسيط المعادلة:

$3xy + 3wy – 3wx = 0$

$3xy + 3w(y – x) = 0$

نقوم بتقسيم الطرفين على $3w$ للتخلص من المضاعفة:

$xy + (y – x) = 0$

$xy + y – x = 0$

الآن نقوم بتجميع الأعضاء المتشابهة:

$xy – x + y = 0$

نستخدم تقنية تحليل الجذر التربيعي لتجميع المعادلة إلى شكل مناسب:

$(x – 1)(y + 1) = 0$

من هنا، يمكننا القول إما $x – 1 = 0$ أو $y + 1 = 0$، وبالتالي:

إذا $x = 1$، وإذا $y = -1$.

الآن نعرف أن $wx = y$، لذا:

إذا $wx = -1$.

الآن، لحساب المتوسط الحسابي بين $w$ و $x$، نقوم بجمعهما وتقسيم الناتج على 2:

$\text{المتوسط الحسابي} = \frac{w + x}{2}$

$\text{المتوسط الحسابي} = \frac{w + x}{2} = \frac{-1 + 1}{2} = 0$

لذا، المتوسط الحسابي بين $w$ و $x$ هو 0.

بالتأكيد، دعونا نقوم بحل المسألة بمزيد من التفصيل وذلك باستخدام القوانين الرياضية المناسبة.

المعطيات:
$\frac{3}{w} + \frac{3}{x} = \frac{3}{y}$
$wx = y$

الهدف:
حساب المتوسط الحسابي بين $w$ و $x$، أو بمعنى آخر $\frac{w + x}{2}$.

الحل:

1. توحيد المقامات:
   نبدأ بضرب كل جانب في المعادلة الأولى في $wxy$ لتوحيد المقامات:
   $3xy + 3wy = 3wx$

2. تبسيط المعادلة:
   نقوم بتجميع الأعضاء المتشابهة وتبسيط المعادلة:
   $3xy + 3wy – 3wx = 0$
   $3xy + 3w(y – x) = 0$

3. تقسيم على $3w$:
   نقوم بتقسيم الطرفين على $3w$ للتخلص من المضاعفة:
   $xy + (y – x) = 0$
   $xy + y – x = 0$

4. تجميع المتغيرات:
   نقوم بتجميع المتغيرات المتشابهة:
   $xy – x + y = 0$

5. تحليل الجذر التربيعي:
   باستخدام تحليل الجذر التربيعي، نحصل على:
   $(x – 1)(y + 1) = 0$

6. حساب قيم $x$ و $y$:
   من هنا، يمكننا قول إما $x – 1 = 0$ أو $y + 1 = 0$، وبالتالي:

   • إذا $x = 1$، وإذا $y = -1$.

7. حساب قيمة $wx$:
   نعلم أن $wx = y$، لذا:

   • إذا $wx = -1$.

8. حساب المتوسط الحسابي:
   لحساب المتوسط الحسابي بين $w$ و $x$، نستخدم الصيغة:
   $\text{المتوسط الحسابي} = \frac{w + x}{2}$
   $\text{المتوسط الحسابي} = \frac{w + x}{2} = \frac{-1 + 1}{2} = 0$

القوانين المستخدمة:

• قاعدة توحيد المقامات.
• قوانين الجمع والطرح.
• تحليل الجذر التربيعي.

باستخدام هذه القوانين والخطوات، تم حساب المتوسط الحسابي بين $w$ و $x$ والوصول إلى الناتج $0$.