حلاً رياضياً لتسلسل الأرقام التربيعية (مسألة رياضيات)

تتبع المتتابعة الحسابية التي تمثلها التسلسل الحسابي $1^2, x^2, 3^2, \ldots$ قاعدة حسابية حيث يكون الفارق بين أي جملتين متتاليتين ثابتًا. يمكننا حساب الفارق بين جملتين متتاليتين باستخدام الصيغة:

$d = \frac{a_{n+1} – a_n}{n+1 – n}$

حيث:

• $d$ هو الفارق بين الجملتين.
• $a_{n+1}$ هي الجملة اللاحقة.
• $a_n$ هي الجملة الحالية.

في هذه المسألة، نستخدم القاعدة الحسابية لحساب قيمة $d$ باستخدام الجملتين الأولى:

$d = \frac{x^2 – 1^2}{2 – 1} = x^2 – 1$

الآن أننا نعرف القيمة للفارق $d$، يمكننا كتابة صيغة عامة للجملة $a_n$ في هذا التسلسل. إذا كانت $a_1$ هي الجملة الأولى في التسلسل، يمكننا كتابة:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

في هذه المسألة، نعلم أن $a_1 = 1^2 = 1$. لذا، يمكننا كتابة:

$a_n = 1 + (n-1)(x^2 – 1)$

الآن، وحيث أننا نريد حلاً للمعادلة $a_n = 3^2$، نقوم بوضع $a_n$ بدلاً من 3^2 ونقوم بحل المعادلة:

$1 + (n-1)(x^2 – 1) = 3^2$

الآن نقوم بحساب القيمة المطلوبة لـ $x$، ونقوم بترتيب المعادلة للوصول إلى الحل:

$(n-1)(x^2 – 1) = 3^2 – 1$

$x^2 – 1 = \frac{3^2 – 1}{n-1}$

$x^2 = \frac{3^2 – 1}{n-1} + 1$

$x^2 = \frac{9 – 1}{n-1} + 1$

$x^2 = \frac{8}{n-1} + 1$

$x^2 = \frac{8}{n-1} + \frac{n-1}{n-1}$

$x^2 = \frac{8 + n-1}{n-1}$

$x^2 = \frac{n+7}{n-1}$

$x = \sqrt{\frac{n+7}{n-1}}$

وبهذا نجد أن الحلاً للمعادلة هو:

$x = \sqrt{\frac{n+7}{n-1}}$

حيث $n$ هو رقم الجملة في التسلسل.

في هذه المسألة، نتعامل مع تسلسل حسابي ممثل بتسلسل الأرقام التي تكون ناتجة عن رفع العدد إلى السلة. لحل هذه المسألة، سنعتمد على القوانين والتقنيات الرياضية التالية:

1. تحديد القاعدة الحسابية:
   نبدأ بتحديد القاعدة الحسابية للتسلسل. في هذه الحالة، القاعدة هي فارق القيم بين أي جملتين متتاليتين. استخدمنا الصيغة:
   $d = \frac{a_{n+1} – a_n}{n+1 – n}$
   لحساب الفارق $d$ بين جملتين متتاليتين.

2. صياغة الجملة العامة للتسلسل:
   باستخدام القاعدة الحسابية، صاغنا الجملة العامة للتسلسل كـ:
   $a_n = 1 + (n-1)(x^2 – 1)$

3. حل المعادلة:
   واجهنا معادلة حيث أردنا حلها للوصول إلى القيمة المطلوبة للمتغير $x$. المعادلة كانت:
   $1 + (n-1)(x^2 – 1) = 3^2$

4. ترتيب المعادلة وحساب القيم:
   قمنا بترتيب المعادلة للوصول إلى معادلة تمكننا من حساب قيمة $x$ بناءً على رقم الجملة $n$. الحل النهائي كان:
   $x = \sqrt{\frac{n+7}{n-1}}$

5. التحقق من الحل:
   يمكن التحقق من الحل بوضع قيمة $x$ في الجملة العامة والتأكد من أنها تتساوى مع القيم المعطاة في التسلسل.

6. الحدود والشروط:
   في هذا السياق، تم تحديد أن $x > 0$ لأننا نريد حلاً للتسلسل يكون العدد المرفوع إلى السلة إيجابيًا.

باستخدام هذه الخطوات والقوانين الرياضية، تم حساب الحلا للمسألة والتأكد من صحة الإجابة بواسطة التحقق منها في السياق الرياضي.