حلاً رياضياً: قيمة مجهول في دالة

الدالة $f$ معرفة بالتالي: $f(x) = -\frac{1}{x}$ لجميع الأعداد غير الصفر $x$. إذا كانت قيمة $f(a)$ تساوي $-\frac{1}{3}$ وقيمة $f(ab)$ تساوي $\frac{1}{6}$، فما هي قيمة $b$؟

لنقم بحساب قيمة $f(a)$ باستخدام الدالة $f$ المعطاة:
$f(a) = -\frac{1}{a}$
إذاً:
$-\frac{1}{a} = -\frac{1}{3}$

الآن، لنحسب قيمة $f(ab)$:
$f(ab) = -\frac{1}{ab}$
وبما أنها تساوي $\frac{1}{6}$، يمكننا كتابة المعادلة التالية:
$-\frac{1}{ab} = \frac{1}{6}$

الآن، لنقم بحساب قيمة $b$ من خلال حل المعادلة:
$-\frac{1}{ab} = \frac{1}{6}$

للقيام بذلك، يمكننا ضرب الطرفين في $ab$ للتخلص من المقام في الكسر:
$-1 = \frac{ab}{6}$

ثم، للتخلص من الكسر، يمكننا ضرب الطرفين في 6:
$-6 = ab$

وبالتالي:
$b = -\frac{6}{a}$

الآن، لنستخدم قيمة $f(a)$ المعطاة في البداية ($f(a) = -\frac{1}{3}$) لحساب قيمة $a$:
$-\frac{1}{a} = -\frac{1}{3}$

إذاً:
$a = 3$

الآن، يمكننا استخدام قيمة $a$ لحساب قيمة $b$:
$b = -\frac{6}{a} = -\frac{6}{3} = -2$

إذاً، قيمة $b$ تكون -2.

لنقوم بفحص هذه المسألة بتفصيل أكبر وذلك باستخدام القوانين الرياضية المعروفة. سنستخدم الخطوات الرياضية التالية:

1. تعريف الدالة $f$:
   الدالة $f$ معرفة بالتالي: $f(x) = -\frac{1}{x}$ لجميع الأعداد غير الصفر $x$.

2. حساب قيمة $f(a)$:
   قيمة $f(a)$ تحسب باستخدام الدالة:
   $f(a) = -\frac{1}{a}$
   ومن المعطيات نعلم أن $f(a) = -\frac{1}{3}$، لذا:
   $-\frac{1}{a} = -\frac{1}{3}$
   يمكن حساب قيمة $a$ بسهولة:
   $a = 3$

3. حساب قيمة $f(ab)$:
   قيمة $f(ab)$ تحسب بنفس الطريقة:
   $f(ab) = -\frac{1}{ab}$
   ومن المعطيات نعلم أن $f(ab) = \frac{1}{6}$، لذا:
   $-\frac{1}{ab} = \frac{1}{6}$
   يمكن تبسيط المعادلة بضرب الطرفين في $ab$ ومن ثم ضربها في 6:
   $-1 = \frac{ab}{6}$
   $-6 = ab$

4. حساب قيمة $b$:
   الآن، لنحسب قيمة $b$ باستخدام القيمة التي حصلنا عليها لـ $ab$:
   $b = -\frac{6}{a}$
   ومن خلال وضع قيمة $a$ في هذه المعادلة:
   $b = -\frac{6}{3} = -2$

بالتالي، تم حل المسألة والوصول إلى قيمة $b$ وهي -2. القوانين المستخدمة هي قوانين الجبر مثل قاعدة التبديل وقاعدة حساب الكسور وضرب المعادلات للتخلص من الكسور.