حلاً رياضياً: سداد قرض بنكي بزيادة ثلاثية شهرية

جوان اقترضت مبلغًا من البنك المحلي، حيث يجب أن تكون كل دفعة شهرية تقوم بدفعها ثلاث مرات قيمة الدفعة السابقة. إذا كانت قيمة دفعتها الأولى 100 دولار، وإجمالي المبلغ الذي يجب عليها دفعه هو 914,800 دولار، كم من الأشهر ستحتاج جوان لسداد قرضها؟

لحل هذه المسألة، يمكننا استخدام سلسلة حسابية لتمثيل الدفعات الشهرية. إذا كانت الدفعة الأولى 100 دولار، الدفعة الثانية ستكون 3 مرات هذا المبلغ، والدفعة الثالثة ستكون 3 مرات الدفعة الثانية، وهكذا.

لنمثل هذا بشكل رياضي، يمكننا استخدام تسلسل القوى:
$100, 3 \times 100, (3 \times 3) \times 100, (3 \times 3 \times 3) \times 100, \ldots$

نريد أن نحسب مجموع هذه السلسلة لمعرفة متى ستصل جوان إلى المبلغ الإجمالي المستهدف 914,800 دولار. يمكن استخدام القاعدة العامة لمجموع التسلسل الهندسي لحساب ذلك.

القاعدة العامة لمجموع التسلسل الهندسي:
$S_n = a \left( \frac{r^n – 1}{r – 1} \right)$

حيث:

• $S_n$ هو مجموع التسلسل.
• $a$ هو العنصر الأول في التسلسل.
• $r$ هو النسبة بين العناصر المتتالية.
• $n$ هو عدد العناصر في التسلسل.

في هذه المسألة:

• $a = 100$ (الدفعة الأولى).
• $r = 3$ (نسبة الزيادة في كل دفعة).
• نريد حساب $n$، عدد الأشهر.

المجموع الإجمالي المستهدف:
$S_n = 914,800$

يمكننا حل المعادلة التالية للعثور على قيمة $n$:
$914,800 = 100 \left( \frac{3^n – 1}{3 – 1} \right)$

بعد حساب القيمة المناسبة لـ $n$، سنعرف كم من الأشهر ستحتاج جوان لسداد قرضها.

لحل هذه المسألة، سنستخدم قاعدة مجموع التسلسل الهندسي، وهي قاعدة تستخدم لحساب المجموع الإجمالي لتسلسل هندسي. التسلسل الهندسي هو تسلسل حيث يتم ضرب كل عنصر في العنصر السابق بنسبة ثابتة.

قاعدة مجموع التسلسل الهندسي:
$S_n = a \left( \frac{r^n – 1}{r – 1} \right)$

حيث:

• $S_n$ هو مجموع التسلسل.
• $a$ هو العنصر الأول في التسلسل.
• $r$ هو النسبة بين العناصر المتتالية.
• $n$ هو عدد العناصر في التسلسل.

في هذه المسألة:

• $a = 100$ (الدفعة الأولى).
• $r = 3$ (نسبة الزيادة في كل دفعة).
• $S_n = 914,800$ (المجموع الإجمالي المستهدف).

الآن، نقوم بتعويض هذه القيم في القاعدة ونحل المعادلة للعثور على قيمة $n$:

$914,800 = 100 \left( \frac{3^n – 1}{3 – 1} \right)$

بعد ذلك، نقوم بحساب $3^n – 1$ في الجهة اليمنى:

$914,800 = 100 \left( \frac{3^n – 1}{2} \right)$

نضرب الطرفين في المعادلة في 2 للتخلص من المقام:

$1,829,600 = 100 \times (3^n – 1)$

ثم نقسم على 100:

$18,296 = 3^n – 1$

الآن، نجمع 1 من الطرفين:

$18,297 = 3^n$

لحل النوع الطبيعي $n$، نأخذ لوغاريتم القاعدة 3 من الطرفين:

$\log_3(18,297) = n$

بعد حساب هذا التعبير، نجد أن $n$ يتقرب إلى 10. تذكر أن $n$ يجب أن يكون عدد صحيح، لذا يجب على جوان دفع لمدة 10 أشهر لسداد قرضها.