حلاً رياضياً: إيجاد قيمة متغير باستخدام الدوال (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية تتلخص في إيجاد قيمة متغير $a$ عندما يكون $f(g(a))$ يساوي 8، حيث $f(x) = x^2 + 8$ و $g(x) = x^2 – 4$. ونعلم أن $a > 0$.

نقوم أولاً بحساب $g(a)$ باستخدام تعريف الدالة $g(x)$:
$g(a) = a^2 – 4$

ثم نستخدم القيمة التي حسبناها لحساب $f(g(a))$ باستخدام دالة $f(x)$:
$f(g(a)) = f(a^2 – 4)$

وبما أننا نعلم أن $f(x) = x^2 + 8$، نستبدل في المعادلة السابقة:
$f(g(a)) = (a^2 – 4)^2 + 8$

ونعلم أن هذا يساوي 8 وفقاً للمعطيات، لذا:
$(a^2 – 4)^2 + 8 = 8$

نقوم بحساب الجذر التربيعي للجهة اليسرى للمعادلة للوصول إلى التعبير التالي:
$a^2 – 4 = 0$

نضيف 4 للطرفين:
$a^2 = 4$

نستخرج الجذر التربيعي:
$a = 2$

إذاً، قيمة المتغير $a$ هي 2.

لنقم بحل هذه المسألة بشكل أكثر تفصيلاً، نستخدم القوانين الرياضية التالية:

1. قانون التكامل:
   $f(g(x)) = f(u)$
   حيث $u = g(x)$.

2. تعريف الدوال:
   $f(x) = x^2 + 8, \quad g(x) = x^2 – 4$

الخطوات الرئيسية لحل المسألة:

أولاً، نستخدم قانون التكامل لحساب قيمة $g(a)$ بواسطة دالة $g(x)$:
$g(a) = a^2 – 4$

ثم نستخدم هذه القيمة في دالة $f(x)$ ونحسب $f(g(a))$:
$f(g(a)) = f(a^2 – 4)$

وباستخدام تعريف دالة $f(x) = x^2 + 8$، نقوم بتعويض القيمة $a^2 – 4$ في $f(x)$:
$f(g(a)) = (a^2 – 4)^2 + 8$

وحسب المعطيات، $f(g(a))$ يساوي 8، لذا:
$(a^2 – 4)^2 + 8 = 8$

نقوم بحساب الجذر التربيعي للطرفين للوصول إلى المعادلة التالية:
$a^2 – 4 = 0$

ثم نضيف 4 للطرفين:
$a^2 = 4$

وأخيراً، نستخدم الجذر التربيعي للوصول إلى قيمة $a$:
$a = 2$

بهذا، نكون قد حللنا المسألة بشكل دقيق باستخدام القوانين الرياضية المتاحة، وتم التركيز على التعامل مع الدوال وتطبيق القوانين بشكل صحيح.