حلاً تفصيلياً لمسألة رياضية معادلات خطية (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي كالتالي:

إذا كانت $x + y = X$ و $x – y = 2$، وكانت قيمة $x^2 – y^2$ تساوي 32، فما هي قيمة المتغير المجهول X؟

الحل:

لنبدأ بحساب قيمة $x$ و $y$. يمكننا حل هذا النظام من المعادلات باستخدام طريقة الجمع أو الطرح. في هذه الحالة، سنستخدم الجمع:

$(x + y) + (x – y) = X + 2$

تبسيط الجهة اليسرى:

$2x = X + 2$

ثم نقوم بتقسيم الطرفين على 2:

$x = \frac{X + 2}{2}$

الآن نستخدم المعلومات الأخرى للعثور على قيمة $y$. نعوض في المعادلة الثانية:

$x – y = 2$

$\frac{X + 2}{2} – y = 2$

نقوم بتبسيط الجهة اليسرى:

$X + 2 – 2y = 4$

ثم نحل للعثور على قيمة $y$:

$2y = X – 2$

$y = \frac{X – 2}{2}$

الآن نستخدم هذه القيم في معادلة $x^2 – y^2$:

$x^2 – y^2 = \left(\frac{X + 2}{2}\right)^2 – \left(\frac{X – 2}{2}\right)^2$

نقوم بتوسيع هذه العبارة باستخدام قاعدة فارغة:

$x^2 – y^2 = \frac{(X + 2)^2}{4} – \frac{(X – 2)^2}{4}$

نقوم بضرب الجهة اليمنى في 4 لتبسيط العبارة:

$4(x^2 – y^2) = (X + 2)^2 – (X – 2)^2$

نقوم بتوسيع هذه العبارة باستخدام قاعدة فارغة:

$4x^2 – 4y^2 = X^2 + 4X + 4 – (X^2 – 4X + 4)$

نقوم بإلغاء العبارات المتشابهة:

$4x^2 – 4y^2 = X^2 + 4X + 4 – X^2 + 4X – 4$

نقوم بتجميع الأعضاء المتشابهة:

$4x^2 – 4y^2 = 8X$

نعيد ترتيب المعادلة للعثور على قيمة $X$:

$8X = 4x^2 – 4y^2$

$X = \frac{4x^2 – 4y^2}{8}$

نقوم بتبسيط الكسر:

$X = \frac{x^2 – y^2}{2}$

الآن نستخدم القيم التي حسبناها في وقت سابق:

$X = \frac{\left(\frac{X + 2}{2}\right)^2 – \left(\frac{X – 2}{2}\right)^2}{2}$

نقوم بتوسيع وتبسيط العبارة:

$X = \frac{(X + 2)^2 – (X – 2)^2}{8}$

نستمر في تبسيط العبارة:

$X = \frac{(X + 2 + X – 2)(X + 2 – (X – 2))}{8}$

نقوم بإلغاء العبارات المتشابهة:

$X = \frac{4}{8}$

أخيرًا، نقوم بتبسيط الكسر:

$X = \frac{1}{2}$

إذاً، قيمة المتغير المجهول $X$ هي $\frac{1}{2}$.

بالطبع، دعونا نقوم بحل المسألة بمزيد من التفصيل وذلك باستخدام القوانين الرياضية المتعلقة بحساب المعادلات والتبسيط.

المسألة الرياضية هي:
$x + y = X$
$x – y = 2$
$x^2 – y^2 = 32$

الحل:

1. حساب قيم $x$ و $y$:

نستخدم طريقة الجمع للتخلص من المتغير $y$، حيث نقوم بجمع المعادلتين الأولى والثانية:
$(x + y) + (x – y) = X + 2$

نبسط الجهة اليسرى:
$2x = X + 2$

ثم نقسم كل طرف على 2:
$x = \frac{X + 2}{2}$

الآن، نستخدم المعلومات الثانية لحساب قيمة $y$، وذلك بتعويض $x$ في المعادلة:
$x – y = 2$
$\frac{X + 2}{2} – y = 2$

نقوم بتبسيط الجهة اليسرى:
$X + 2 – 2y = 4$

ثم نحل للعثور على قيمة $y$:
$2y = X – 2$
$y = \frac{X – 2}{2}$

2. حساب $x^2 – y^2$:

نستخدم المعلومات الثالثة:
$x^2 – y^2 = 32$

نقوم بتعويض قيم $x$ و $y$:
$\left(\frac{X + 2}{2}\right)^2 – \left(\frac{X – 2}{2}\right)^2 = 32$

نقوم بتوسيع العبارة باستخدام قاعدة الفارغة:
$\frac{(X + 2)^2}{4} – \frac{(X – 2)^2}{4} = 32$

نقوم بضرب الجهة اليمنى في 4 لتبسيط العبارة:
$(X + 2)^2 – (X – 2)^2 = 128$

نقوم بتوسيع العبارة باستخدام قاعدة الفارغة:
$X^2 + 4X + 4 – (X^2 – 4X + 4) = 128$

نقوم بإلغاء العبارات المتشابهة:
$8X = 128$

نحل للعثور على قيمة $X$:
$X = 16$

القوانين المستخدمة:

1. قانون الجمع والطرح: استخدمنا قانون الجمع والطرح للتخلص من المتغير $y$ عند جمع المعادلات الأولى والثانية.

2. قانون التوسيع (قاعدة الفارغة): استخدمنا قاعدة الفارغة لتوسيع العبارة $x^2 – y^2$ والتي تساعد في تبسيط المعادلة.

3. قانون حل المعادلات الخطية: استخدمنا قانون حل المعادلات الخطية لحساب قيم $x$ و $y$.

4. قانون التبسيط: قمنا بتبسيط المعادلات والعبارات لتسهيل عملية الحساب.

بهذا نكون قد قمنا بحل المسألة بشكل مفصل باستخدام القوانين الرياضية.