مسائل رياضيات

حساب $\mathbf{A}^{100}$ وتحديد $X$ (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 09/03/2024
0

لنعيد صياغة المسألة الرياضية باللغة العربية:

لنفترض أن لدينا مصفوفة مربعة $\mathbf{A}$ بحجم $3 \times 3$ معناها ثلاث صفوف وثلاث أعمدة وتكون قيمها كما يلي:

مواضيع ذات صلة
A=(001100X10).\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ X & 1 & 0 \end{pmatrix}.

نريد حساب $\mathbf{A}^{100}$ ومعرفة قيمة المتغير المجهول $X$.

الحل:

لحساب $\mathbf{A}^{100}$، يمكننا استخدام الطرق الجبرية. نبدأ بحساب أول وثاني قوى للمصفوفة $\mathbf{A}$:

A2=A×A=(001100X10)×(001100X10).\mathbf{A}^2 = \mathbf{A} \times \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ X & 1 & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ X & 1 & 0 \end{pmatrix}.

بضرب المصفوفتين، نحصل على:

A2=(X10001100).\mathbf{A}^2 = \begin{pmatrix} X & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

الآن، لنحسب $\mathbf{A}^3$، وهو ما يلي:

A3=A×A2=(001100X10)×(X10001100).\mathbf{A}^3 = \mathbf{A} \times \mathbf{A}^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ X & 1 & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} X & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

عند الضرب، نحصل على:

A3=(100X10001).\mathbf{A}^3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ X & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

يبدو أن هناك دورة في تكرار القيم. لنستمر في الحساب:

A4=A×A3=(001100X10)×(100X10001).\mathbf{A}^4 = \mathbf{A} \times \mathbf{A}^3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ X & 1 & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ X & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

الناتج:

A4=(001100X10)=A.\mathbf{A}^4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ X & 1 & 0 \end{pmatrix} = \mathbf{A}.

هنا نرى أن الدورة تبدأ من جديد. يتبع النمط التكراري أنه $\mathbf{A}^5 = \mathbf{A}$، وهكذا.

إذاً، لاحظ أنه بعد 4 ضربات، نعود إلى نفس المصفوفة $\mathbf{A}$. وبما أن 100 ÷ 4 يساوي 25 والباقي هو صفر، فإن $\mathbf{A}^{100} = \mathbf{A}^{4 \times 25} = (\mathbf{A}^4)^{25} = \mathbf{A}^{25} = \mathbf{A}$.

والآن، لحساب قيمة $X$، نلاحظ أن $\mathbf{A}^{100} = \mathbf{A}$، وبالتالي يجب أن تكون القيمة الثالثة في الصف الأول مساوية للقيمة الأولى في الصف الثالث، أي:

X=0.X = 0.

إذاً، قيمة المتغير المجهول $X$ هي صفر.

المزيد من المعلومات

لحل المسألة وحساب قيمة $\mathbf{A}^{100}$ والمتغير المجهول $X$، نحتاج إلى النظر في الطريقة التي نحسب بها الأسس للمصفوفة $\mathbf{A}$. نستخدم القوانين الجبرية التالية:

  1. ضرب المصفوفات: نستخدم هذه العملية لضرب المصفوفة $\mathbf{A}$ بنفسها للحصول على قوى مختلفة من $\mathbf{A}$.
  2. خاصية الدورة: نلاحظ أنه بعد عدد محدد من الضربات، يتكرر نمط المصفوفة وتعود إلى نفسها.
  3. تحليل النمط التكراري: نحلل النمط التكراري للقوى المختلفة من المصفوفة لفهم كيفية تغير القيم في كل ضربة.

باستخدام هذه القوانين، نحسب قوى مختلفة من المصفوفة $\mathbf{A}$ لفهم نمط التكرار وتحديد القيم.

نلاحظ أن:

  • $\mathbf{A}^1 = \mathbf{A}$.
  • $\mathbf{A}^2$ يتكون من تغييرات في ترتيب الأعمدة والصفوف.
  • $\mathbf{A}^3$ يظهر نمطًا جديدًا للمصفوفة.
  • $\mathbf{A}^4 = \mathbf{A}$، حيث تعود المصفوفة إلى نفسها بعد 4 ضربات.

باستخدام هذا التحليل، نجد أن النمط يتكرر كل 4 ضربات. بالتالي، $\mathbf{A}^{100} = \mathbf{A}^{4 \times 25} = (\mathbf{A}^4)^{25} = \mathbf{A}^{25} = \mathbf{A}$.

بالنسبة للمتغير المجهول $X$، نستخدم المعلومة أن $\mathbf{A}^{100} = \mathbf{A}$ لنرى أن القيمة الثالثة في الصف الأول من $\mathbf{A}$ هي نفس القيمة الأولى في الصف الثالث. هذا يعني أن $X$ يجب أن يكون صفرًا.

بهذا الشكل، باستخدام التحليل الجبري والتفكير البصري في نمط التكرار، نستطيع حساب $\mathbf{A}^{100}$ وتحديد قيمة المتغير المجهول $X$.

اخر تحديث 09/03/2024
0