حساب GCF و LCM للأعداد 48 و 72

مطلوب منا حساب مجموع أكبر عامل مشترك وأقل مضاعف مشترك للأعداد 48 و 72. يمكننا حل هذه المسألة عن طريق فهم العلاقة بين العوامل المشتركة الكبيرة (GCF) وأقل المضاعف المشترك (LCM) واستخدامها في الحسابات.

لنبدأ بحساب العامل المشترك الكبير (GCF) بين 48 و 72. يمكننا استخدام أسلوب القسمة التكرارية للعثور على العامل المشترك الكبير. نقوم بقسمة العددين واستخدام باقي القسمة لتكرار العملية حتى نجد القيمة النهائية التي لا يمكن قسمها أكثر.

لدينا:

$\text{GCF}(48, 72) = \text{GCF}(48, 72 \mod 48)$

نقوم بتكرار هذه العملية حتى نحصل على باقي يكون صفرًا. بعد الحساب، نجد أن $\text{GCF}(48, 72) = 24$.

الآن، لنحسب أقل المضاعف المشترك (LCM). يمكننا استخدام العلاقة التالية:

$\text{LCM}(a, b) = \frac{a \times b}{\text{GCF}(a, b)}$

نضع القيم المعطاة:

$\text{LCM}(48, 72) = \frac{48 \times 72}{24}$

نقوم بالحساب للحصول على قيمة $\text{LCM}(48, 72)$ التي تساوي 144.

الآن، نحسب المطلوب وهو مجموع أكبر عامل مشترك وأقل مضاعف مشترك:

$\text{الجواب} = \text{GCF}(48, 72) + \text{LCM}(48, 72)$

$\text{الجواب} = 24 + 144$

$\text{الجواب} = 168$

إذاً، مجموع أكبر عامل مشترك وأقل مضاعف مشترك للأعداد 48 و 72 هو 168.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مفهومين رئيسيين في الحساب العددي، وهما العامل المشترك الأكبر (GCF) وأقل مضاعف مشترك (LCM). سنقوم بتطبيق قوانين الحساب وقوانين الأعداد للوصول إلى الإجابة النهائية.

1. العامل المشترك الأكبر (GCF):
   لحساب العامل المشترك الأكبر بين 48 و 72، نبدأ بفحص العوامل المشتركة لهما. يمكن استخدام أسلوب القسمة التكرارية لتحديد العامل المشترك الأكبر. يتم ذلك عن طريق قسم العددين واستخدام الباقي في كل مرة لمواصلة العملية حتى نصل إلى باقي يكون صفرًا. في هذه الحالة، العامل المشترك الأكبر بين 48 و 72 هو 24.

2. أقل مضاعف مشترك (LCM):
   لحساب أقل مضاعف مشترك بين 48 و 72، نستخدم الصيغة التالية:

   $\text{LCM}(a, b) = \frac{a \times b}{\text{GCF}(a, b)}$

   بوضع القيم المناسبة، نحصل على:

   $\text{LCM}(48, 72) = \frac{48 \times 72}{24} = 144$

3. المجموع النهائي:
   للحصول على إجابة المسألة، نجمع بين العامل المشترك الأكبر وأقل مضاعف مشترك:

   $\text{الجواب} = \text{GCF}(48, 72) + \text{LCM}(48, 72)$

   $\text{الجواب} = 24 + 144 = 168$

قوانين الحساب والأعداد المستخدمة:

• القسمة التكرارية: استخدام العملية الرياضية للقسمة بشكل متكرر للعثور على العامل المشترك الأكبر.

• صيغة أقل مضاعف مشترك (LCM): استخدام الصيغة $\text{LCM}(a, b) = \frac{a \times b}{\text{GCF}(a, b)}$ لحساب أقل مضاعف مشترك.

• قوانين الجمع: جمع القيم للحصول على الإجابة النهائية.