حساب GCD و LCM للأعداد 16 و 72 (مسألة رياضيات)

مسألة الجمع بين أكبر عامل مشترك وأقل مضاعف مشترك للأعداد 16 و 72. لحل هذه المسألة، يجب أولاً حساب العامل المشترك الأكبر (GCD) والمضاعف المشترك الأقل (LCM) لهاتين الأعداد.

العامل المشترك الأكبر (GCD) هو أكبر عدد يقسم كل من 16 و 72 بدون أن يترك باقي. لحساب GCD، يمكننا استخدام الطريقة البسيطة لتقسيم العددين واستمرار القسمة حتى نحصل على باقي صفر.

بدايةً، نحسب الفارق بين العددين:
$72 – 16 = 56$

ثم نقوم بتكرار عملية القسمة بين 16 و 56:
$56 ÷ 16 = 3 \: باقي 8$

ثم نقوم بتكرار العملية بين 16 و 8:
$16 ÷ 8 = 2 \: باقي 0$

الآن، وصلنا إلى باقي صفر، وهذا يعني أن 8 هو العامل المشترك الأكبر (GCD) بين 16 و 72.

المضاعف المشترك الأقل (LCM) هو أصغر عدد يمكن أن يقسم كل من 16 و 72. لحساب LCM، يمكننا استخدام الصيغة التالية:
$LCM(a, b) = \frac{a \times b}{GCD(a, b)}$

وبتعويض قيم الأعداد:
$LCM(16, 72) = \frac{16 \times 72}{8} = 144$

الآن، للحصول على مجموع GCD و LCM، نجمع بينهما:
$GCD + LCM = 8 + 144 = 152$

إذاً، الجواب هو 152.

لحل مسألة جمع أكبر عامل مشترك (GCD) وأقل مضاعف مشترك (LCM) للأعداد 16 و 72، يتعين علينا اتباع خطوات محددة واستخدام بعض القوانين الرياضية.

الخطوة 1: حساب العامل المشترك الأكبر (GCD)

قانون: $\text{GCD}(a, b) = \text{GCD}(b, a \mod b)$

حيث $\text{GCD}$ هو العامل المشترك الأكبر و \mod تعني الباقي.

نبدأ بحساب الفارق بين العددين:
$72 – 16 = 56$

ثم نستخدم القانون لحساب العامل المشترك الأكبر:
$\text{GCD}(16, 72) = \text{GCD}(72, 16) = \text{GCD}(16, 56)$

نكرر هذه العملية حتى نصل إلى باقي صفر:
$\text{GCD}(16, 56) = \text{GCD}(56, 16) = \text{GCD}(16, 8) = \text{GCD}(8, 0) = 8$

الخطوة 2: حساب المضاعف المشترك الأقل (LCM)

قانون: $\text{LCM}(a, b) = \frac{a \times b}{\text{GCD}(a, b)}$

نستخدم القانون لحساب المضاعف المشترك الأقل:
$\text{LCM}(16, 72) = \frac{16 \times 72}{8} = 144$

الخطوة 3: جمع GCD و LCM

نجمع بين العامل المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأقل:
$\text{GCD} + \text{LCM} = 8 + 144 = 152$

باختصار، قد استخدمنا قانوني GCD و LCM لحساب القيم، وكذلك استخدمنا القوانين الأساسية للقسمة والضرب. الخطوة الأولى تستند إلى قاعدة حساب العامل المشترك الأكبر بالقسمة المتكررة، والخطوة الثانية تعتمد على قانون حساب المضاعف المشترك الأقل باستخدام العامل المشترك الأكبر. في الختام، قمنا بجمع القيمتين للحصول على الإجابة النهائية.