حساب $\binom{n}{1}$: قوانين الاختيارات المتسلسلة (مسألة رياضيات)

المطلوب هو حساب قيمة $\binom{n}{1}$ لأي عدد صحيح إيجابي $n$. قيمة $\binom{n}{1}$ تمثل عدد الطرق التي يمكن فيها اختيار عنصر واحد من مجموعة تحتوي على $n$ عناصر.

لحساب قيمة $\binom{n}{1}$، نستخدم الصيغة التالية:
$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
حيث $n!$ تعبر عن عامليال التكرار للعدد $n$ وتسمى “عامليال فاكتوريال”، وتعبر عن ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة من 1 إلى $n$. والعلامة $\binom{n}{k}$ تعبر عن مجموعات الاختيارات.

في حالة $\binom{n}{1}$، يكون $k=1$. لذلك:
$\binom{n}{1} = \frac{n!}{1!(n-1)!}$

ومن المعروف أن $1! = 1$ وأن $(n-1)! = (n-1)(n-2)(n-3)…(2)(1)$.

إذاً، يمكننا كتابة قيمة $\binom{n}{1}$ على النحو التالي:
$\binom{n}{1} = \frac{n!}{1!(n-1)!} = \frac{n!}{(n-1)!}$

عندما نقوم بالقسمة، يُلغى العامليال فاكتوريال الإضافي، ويتبقى العامليال فاكتوريال للعدد $n$ فقط. لذلك، يتحول السؤال إلى مجرد حساب العامليال فاكتوريال للعدد $n$.

بمعنى آخر:
$\binom{n}{1} = n$

بالتالي، قيمة $\binom{n}{1}$ هي العدد $n$ نفسه.

لحساب قيمة $\binom{n}{1}$، والتي تعبر عن عدد الطرق التي يمكن فيها اختيار عنصر واحد من مجموعة تحتوي على $n$ عناصر، يمكننا استخدام مفهوم الاختيارات المتسلسلة والقوانين الأساسية للجبر القوية.

القانون الأساسي الذي نستخدمه هو قانون الاختيارات المتسلسلة. هذا القانون ينص على أنه عندما نقوم باختيار $k$ عناصر من مجموعة تحتوي على $n$ عنصر، ولا يوجد ترتيب محدد للاختيار، فإن عدد الاختيارات المختلفة هو $\binom{n}{k}$.

في هذه المسألة، نريد اختيار عنصر واحد فقط من بين $n$ عناصر، لذا $k=1$.

باستخدام صيغة الاختيارات المتسلسلة، نحصل على:
$\binom{n}{1} = n$

في هذه الخطوة، لم نقم بحساب أي عامليال فاكتوريال بشكل صريح، ولكن استنتاج القيمة كان مباشرًا من تفسير الاختيارات المتسلسلة والقوانين الجبرية الأساسية.

بهذا الشكل، يمكننا فهم الحل بسياق الجبر والتحليل المجردي، ودون الحاجة إلى استخدام العوامليالات الفاكتوريال بشكل مباشر.