حساب وتحليل مصفوفة 2×2 (مسألة رياضيات)

المصفوفة المعطاة هي:
$\begin{pmatrix} X & -4 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}.$

لحساب المصفوفة المعكوسة، يجب أن تكون المصفوفة المعطاة قابلة للعكس، وذلك عندما يكون محدد المصفوفة (الDeterminant) غير صفر. لدينا المصفوفة:

$\text{Determinant} = X \cdot 2 – (-4) \cdot (-3) = 2X – 12.$

لكي تكون القيمة غير صفر، يجب أن يكون $2X – 12 \neq 0$. نقوم بحساب قيمة $X$ عندما تكون القيمة غير صفر:

$2X – 12 \neq 0 \implies 2X \neq 12 \implies X \neq 6.$

إذا كانت $X \neq 6$، فإن المصفوفة قابلة للعكس. الآن، نقوم بحساب المصفوفة المعكوسة باستخدام صيغة المصفوفة المعكوسة لمصفوفة $2 \times 2$:

إذا كانت المصفوفة الأصلية هي:
$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix},$

فإن المصفوفة المعكوسة تحسب بواسطة الصيغة التالية:

$\text{Inverse} = \frac{1}{ad – bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}.$

في حالتنا، حيث $a = X$, $b = -4$, $c = -3$, و $d = 2$:

$\text{Inverse} = \frac{1}{(X \cdot 2) – ((-4) \cdot (-3))} \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & X \end{pmatrix}.$

وباستبدال القيم:

$\text{Inverse} = \frac{1}{2X + 12} \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & X \end{pmatrix}.$

هذه هي المصفوفة المعكوسة. إذا كان $X = 6$، فإن المصفوفة ليست قابلة للعكس، وبالتالي تكون المصفوفة المعكوسة هي المصفوفة الصفرية.

لحل هذه المسألة، سنبدأ بحساب المحدد (Determinant) للمصفوفة المعطاة. المحدد يحسب بالطريقة التالية لمصفوفة $2 \times 2$:

$\text{Determinant} = ad – bc.$

في حالتنا، حيث المصفوفة هي:
$\begin{pmatrix} X & -4 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}.$

نستخدم القانون لحساب المحدد:

$\text{Determinant} = (X \cdot 2) – ((-4) \cdot (-3)) = 2X – 12.$

الخطوة التالية هي التحقق مما إذا كان المحدد ($2X – 12$) يساوي صفر أم لا. إذا كان المحدد يساوي صفر، فإن المصفوفة لا تكون قابلة للعكس، وإذا كان غير صفر، فإن المصفوفة قابلة للعكس.

في هذه المسألة، نجد قيمة $X$ عندما يكون المحدد ($2X – 12$) غير صفر:

$2X – 12 \neq 0 \implies 2X \neq 12 \implies X \neq 6.$

إذا كان $X \neq 6$، فإن المصفوفة قابلة للعكس. القانون المستخدم هو قانون قابلية العكس والذي ينص على أن المصفوفة قابلة للعكس إذا كان محددها ($ad – bc$) غير صفر.

الخطوة النهائية هي حساب المصفوفة المعكوسة باستخدام الصيغة المعروفة لمصفوفة $2 \times 2$:

$\text{Inverse} = \frac{1}{ad – bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}.$

وباستخدام القيم في حالتنا:

$\text{Inverse} = \frac{1}{2X + 12} \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & X \end{pmatrix}.$

تم استخدام القوانين التالية في الحل:

1. قانون المحدد (Determinant Rule): يتم حساب المحدد للمصفوفة $2 \times 2$ بواسطة العملية $ad – bc$.

2. قانون قابلية العكس (Invertibility Rule): المصفوفة قابلة للعكس إذا كان محددها ($ad – bc$) غير صفر.