حساب وتحليل باقي مجموع تكعيبات الأعداد (مسألة رياضيات)

البحث عن الباقي عندما يتم قسم $1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 100^3$ على 6.

لحل هذه المسألة، نبدأ بحساب مجموع التكعيبات للأعداد من 1 إلى 100. يمكن تمثيل هذا المجموع بالصيغة التالية:

$S = 1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 100^3$

الآن، نقوم بحساب هذا المجموع باستخدام الصيغة العامة لمجموع التكعيبات:

$S = \frac{n^2 \times (n + 1)^2}{4}$

حيث $n$ هو العدد الأخير في المتسلسلة، وفي هذه الحالة $n = 100$. لذا:

$S = \frac{100^2 \times (100 + 1)^2}{4}$

الآن، نقوم بحساب قيمة $S$.

$S = \frac{100^2 \times 101^2}{4} = \frac{10000 \times 10201}{4} = 25502500$

الخطوة التالية هي حساب الباقي عند قسم هذا المجموع على 6. نقوم بذلك بالقسمة العادية:

$25502500 \mod 6$

الآن، نقوم بحساب هذا الباقي. نستخدم القاعدة التي تقول إنه إذا كانت $a \mod b$ و $c \mod b$ هما نفس الباقي، فإن $(a + c) \mod b$ سيكون نفس الباقي. هذا يعني أنه يمكننا تقسيم العدد الكبير إلى أجزاء أصغر:

$25502500 \mod 6 = ((25000000 \mod 6) + (500000 \mod 6)) \mod 6$

الآن نقوم بحساب الباقي لكل جزء:

$25000000 \mod 6 = 4$

$500000 \mod 6 = 2$

الآن نجمع هذين الباقيين:

$(4 + 2) \mod 6 = 6 \mod 6 = 0$

إذاً، الباقي عند قسم $1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 100^3$ على 6 هو 0.

بالطبع، سنقوم بتوضيح الحل بشكل أكثر تفصيلاً وذلك باستخدام بعض القوانين الرياضية المستخدمة في العملية.

لنحسب مجموع التكعيبات أولاً باستخدام الصيغة العامة:

$S = 1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 100^3$

نعلم أن مجموع التكعيبات للأعداد من 1 إلى $n$ هو مربع مجموع الأعداد من 1 إلى $n$، ويمكن تمثيله بالصيغة:

$S = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$

في هذه الحالة، $n = 100$، لذا:

$S = \left(\frac{100 \times (100 + 1)}{2}\right)^2$

نبسط هذا التعبير:

$S = \left(\frac{100 \times 101}{2}\right)^2 = (5050)^2$

الآن نقوم بحساب هذا المربع:

$S = 25502500$

المرحلة التالية هي حساب الباقي عند قسم هذا المجموع على 6. نستخدم قاعدة الباقي عند القسمة:

$S \mod 6$

ونستفيد من قاعدة الجمع:

$S \mod 6 = (25000000 \mod 6 + 500000 \mod 6) \mod 6$

نحسب الباقي لكل جزء:

$25000000 \mod 6 = 4$

$500000 \mod 6 = 2$

الآن نجمع هذين الباقيين:

$(4 + 2) \mod 6 = 6 \mod 6 = 0$

إذًا، الباقي عند قسم $1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 100^3$ على 6 هو 0.

القوانين المستخدمة في الحل:

1. صيغة مجموع التكعيبات: $1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$
2. قاعدة الباقي عند القسمة: $(a + b) \mod c = (a \mod c + b \mod c) \mod c$
3. قاعدة الجمع للباقي: $(a + b) \mod c = (a \mod c + b \mod c) \mod c$

تم استخدام هذه القوانين لتبسيط الحسابات والتوصل إلى النتيجة النهائية.