حساب نقاط تقاطع بين خط ودائرة (مسألة رياضيات)

نريد حساب عدد نقاط التقاطع بين خط ممثل بالمعادلة $5x + 8y = 10$ ودائرة ممثلة بالمعادلة $x^2 + y^2 = 1$.

لنبدأ بحساب قيمة $y$ باستخدام المعادلة الأولى:
$5x + 8y = 10$

نقوم بترتيب المعادلة للحصول على $y$:
$8y = 10 – 5x$
$y = \frac{10 – 5x}{8}$

الآن، نستخدم هذا التعبير لتعويض قيمة $y$ في المعادلة الثانية للحصول على قيم النقاط التي تقع على الدائرة. لذا، نستبدل $y$ في المعادلة $x^2 + y^2 = 1$ بالقيمة التي حصلنا عليها:
$x^2 + \left(\frac{10 – 5x}{8}\right)^2 = 1$

الآن نقوم بحل هذه المعادلة للعثور على القيم المحتملة لـ $x$.

$x^2 + \frac{(10 – 5x)^2}{64} = 1$
$64x^2 + (10 – 5x)^2 = 64$

نوسع العبارة:
$64x^2 + 100 – 100x + 25x^2 = 64$
$89x^2 – 100x + 100 = 0$

الآن، يمكن حل هذه المعادلة من خلال استخدام الصيغة العامة لحساب الجذر التربيعي:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث أن $a = 89$، $b = -100$، و $c = 100$. نستخدم هذه القيم في الصيغة:
$x = \frac{-(-100) \pm \sqrt{(-100)^2 – 4 \cdot 89 \cdot 100}}{2 \cdot 89}$
$x = \frac{100 \pm \sqrt{10000 – 35600}}{178}$
$x = \frac{100 \pm \sqrt{-25600}}{178}$

هنا، نرى أن لدينا جذر سالب، مما يعني أنه لا توجد نقاط تقاطع بين الخط والدائرة، لأن المعادلة الرياضية لا تحتوي على حلول حقيقية. لذا، عدد نقاط التقاطع بين الخط والدائرة هو صفر.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مفهومين أساسيين في الجبر والهندسة الرياضية: المعادلات الخطية ومعادلة دائرة.

1. المعادلة الخطية: تمثل خطًا على الإطار الكارتيزي بواسطة معادلة خطية من الشكل $ax + by = c$. هنا، $a$ و $b$ هما معاملات الخطية، و $c$ هو الثابت. يمكن استخدام هذه المعادلات لتحديد موقع نقطة على الخط.

2. معادلة دائرة: تمثل دائرة بواسطة معادلة من الشكل $x^2 + y^2 = r^2$، حيث $r$ هو نصف قطر الدائرة. يمكن استخدام هذه المعادلة لتحديد موقع النقاط التي تقع على دائرة معينة.

الآن، سنقوم بتطبيق هذه الأفكار على المسألة المعطاة:

المعادلة الخطية هي:
$5x + 8y = 10$

والمعادلة الدائرية هي:
$x^2 + y^2 = 1$

لحساب نقاط التقاطع بين الخط والدائرة، سنقوم بحل هذين المعادلتين معًا. نبدأ بتمثيل $y$ من المعادلة الخطية:

$8y = 10 – 5x$
$y = \frac{10 – 5x}{8}$

الآن، نقوم بتعويض قيمة $y$ في المعادلة الدائرية:

$x^2 + \left(\frac{10 – 5x}{8}\right)^2 = 1$

هذه المعادلة ذات درجة ثانية في $x$، وسنقوم بحلها للعثور على قيم $x$ التي تحقق التقاطع.

بعد حساب $x$، سنستخدم قيم الـ $x$ لحساب الـ $y$ المقابلة. وبمجرد حصولنا على الزوج $(x, y)$، سيمثل ذلك نقطة التقاطع بين الخط والدائرة.

ومن الملاحظ أن الحل ينطوي على معادلة من الدرجة الثانية، وبالتالي قد يكون الحل معقدًا قليلاً ويتطلب استخدام خوارزميات حل معادلات الدرجة الثانية.

ومن النتائج التي حصلنا عليها سابقًا، نرى أنه لا يوجد نقاط تقاطع بين الخط والدائرة، وهو ما يتماشى مع الحل الذي تم توضيحه سابقًا.