حساب نقاط القطع للمعادلة الخطية (مسألة رياضيات)

المعادلة التي تصف الخط هي $y – 4 = 4(x – 8)$.

للعثور على النقطة التي يقاطع فيها الخط محور السينات (x-intercept)، نضع $y = 0$ في المعادلة ونحل لـ$x$.

$0 – 4 = 4(x – 8)$

$-4 = 4x – 32$

نضيف $32$ للطرفين:

$32 – 4 = 4x$

$28 = 4x$

نقسم على $4$ للحصول على قيمة $x$:

$x = \frac{28}{4} = 7$

إذاً، النقطة التي يقاطع فيها الخط محور السينات هي $(7, 0)$.

الآن، للعثور على النقطة التي يقاطع فيها الخط محور الصادات (y-intercept)، نضع $x = 0$ في المعادلة ونحل لـ$y$.

$y – 4 = 4(0 – 8)$

$y – 4 = 4(-8)$

$y – 4 = -32$

نضيف $4$ للطرفين:

$y = -32 + 4$

$y = -28$

إذاً، النقطة التي يقاطع فيها الخط محور الصادات هي $(0, -28)$.

الآن، لحساب مجموع قيم الـ$x$ والـ$y$ لهذه النقطتين:

مجموع الـ$x$-intercept والـ$y$-intercept هو:

$7 + (-28) = -21$

إذاً، المجموع المطلوب هو $-21$.

لحل المسألة، نحن بحاجة إلى استخدام المعادلة الخطية العامة، والتي تأخذ شكلًا عامًا يعبر عن العلاقة بين النقاط على الخط. في هذه المسألة، المعادلة الخطية العامة تعطى بشكل مختصر بالمعادلة التي وردت: $y – 4 = 4(x – 8)$.

لحل المسألة، نحتاج إلى فهم مفهوم نقطة القطع مع محور السينات (x-intercept) ونقطة القطع مع محور الصادات (y-intercept).

1. نقطة القطع مع محور السينات (x-intercept):
   نقطة القطع مع محور السينات هي النقطة التي يتقاطع فيها الخط مع المحور الأفقي (محور السينات)، أي عندما تكون قيمة $y$ تساوي صفر. لحسابها، نعوض $y$ بصفر في المعادلة الخطية ونحل لـ$x$.

2. نقطة القطع مع محور الصادات (y-intercept):
   نقطة القطع مع محور الصادات هي النقطة التي يتقاطع فيها الخط مع المحور الرأسي (محور الصادات)، أي عندما تكون قيمة $x$ تساوي صفر. لحسابها، نعوض $x$ بصفر في المعادلة الخطية ونحل لـ$y$.

بعد تحديد النقطتين، نجمع قيمة الـ$x$-intercept مع الـ$y$-intercept للحصول على المجموع المطلوب.

القوانين المستخدمة:

1. معادلة الخط العامة: $y = mx + b$
2. نقطة القطع مع محور السينات (x-intercept): عند $y = 0$
3. نقطة القطع مع محور الصادات (y-intercept): عند $x = 0$
4. حل المعادلات الخطية: يمكن استخدام الحسابات الأساسية لحل المعادلات الخطية وإيجاد قيم مجهولة مثل $x$ أو $y$.

باستخدام هذه القوانين والخطوات المذكورة أعلاه، نستطيع حساب نقاط القطع ومن ثم جمع قيمهما للوصول إلى الإجابة النهائية.