حساب نصف قطر القوالب الصغيرة (مسألة رياضيات)

بعد ملء وعاء على شكل نصف كرة بنصف قطر يبلغ قدم واحد بالشوكولاتة، يتم توزيع الشوكولاتة بالتساوي بين 27 قالبًا صغيرًا متطابق الشكل على شكل أنصاف كرة. ما هو نصف قطر كل من القوالب الصغيرة، بالقدم؟

لنقم بحساب حجم الشوكولاتة في الوعاء الكبير أولاً. حجم الوعاء الكبير (النصف الكرة) يتمثل في ثلث حجم الكرة الكاملة، والذي يُعطى بالتالي بالصيغة التالية:

$V = \frac{2}{3} \pi r^3$

حيث $r$ هو نصف قطر الوعاء الكبير، الذي هو 1 قدم. وبما أن القيمة العددية لـ $\pi$ تُقرب إلى 3.14، نحصل على:

$V = \frac{2}{3} \times 3.14 \times 1^3 = \frac{2}{3} \times 3.14 \times 1 = 2.09 \, \text{قدم}^3$

الآن، نحتاج إلى تقسيم حجم الشوكولاتة في الوعاء الكبير على عدد القوالب الصغيرة (27) للحصول على حجم كل قالب صغير. بما أن الشكل الصغير هو نصف كرة أيضًا، فإن حجم القالب الصغير يمكن أن يكون معرفًا باستخدام نفس الصيغة:

$V_{\text{صغير}} = \frac{2}{3} \pi r_{\text{صغير}}^3$

حيث $r_{\text{صغير}}$ هو نصف قطر القالب الصغير الذي نبحث عنه.

لذا، يجب أن يكون حجم القالب الصغير يساوي حجم الوعاء الكبير مقسومًا على عدد القوالب الصغيرة:

$V_{\text{صغير}} = \frac{2.09 \, \text{قدم}^3}{27} = 0.0774 \, \text{قدم}^3$

الآن، يمكننا حساب نصف قطر القالب الصغير باستخدام هذا الحجم والصيغة السابقة:

$0.0774 = \frac{2}{3} \times 3.14 \times r_{\text{صغير}}^3$

بالقسمة على $\frac{2}{3} \times 3.14$ لنحصل على:

$r_{\text{صغير}}^3 = \frac{0.0774}{\frac{2}{3} \times 3.14}$

$r_{\text{صغير}}^3 = \frac{0.0774}{2.09}$

$r_{\text{صغير}}^3 ≈ 0.037$

لذا، نحتاج الآن إلى اختصار هذا القيمة بالجذر الثلاثي:

$r_{\text{صغير}} ≈ \sqrt[3]{0.037}$

$r_{\text{صغير}} ≈ 0.34 \, \text{قدم}$

لذلك، نصف قطر كل من القوالب الصغيرة حوالي 0.34 قدم.

في هذه المسألة، نواجه وعاءً على شكل نصف كرة تم ملؤه بالشوكولاتة، ثم تم توزيع الشوكولاتة بالتساوي في 27 قالبًا صغيرًا، والتي تكون جميعها على شكل أنصاف كرة أيضًا. الهدف هو حساب نصف قطر القوالب الصغيرة.

القوانين المستخدمة:

1. حجم الكرة: يُعطى بالصيغة $V = \frac{4}{3} \pi r^3$.
2. حجم النصف الكرة: نظرًا لأننا لدينا نصف كرة، فإننا نستخدم ثلث حجم الكرة الكاملة، والذي يكون $V = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \pi r^3$.
3. توزيع الحجم: نصف كرة مليئة بالشوكولاتة تُوزع بالتساوي في 27 قالبًا صغيرًا، مما يعني أن حجم النصف الكرة يتم تقسيمه على عدد القوالب (27) للحصول على حجم كل قالب.

الخطوات:

1. حساب حجم النصف الكرة الكبيرة باستخدام نصف قطرها المعطى.
2. تقسيم حجم النصف الكرة على عدد القوالب الصغيرة للحصول على حجم كل قالب.
3. استخدام الصيغة الحجمية للنصف الكرة الصغيرة لحساب نصف قطر القالب الصغير.

الحل:

1. نصف قطر الوعاء الكبير هو 1 قدم.
2. حجم النصف الكرة الكبيرة هو $V = \frac{2}{3} \pi (1)^3 = \frac{2}{3} \pi$ قدم مكعب.
3. حجم كل قالب صغير هو $\frac{\frac{2}{3} \pi}{27}$ قدم مكعب.
4. بعد الحسابات، يتبين أن نصف قطر القالب الصغير هو حوالي 0.34 قدم.

تم استخدام قوانين حساب الحجوم للأشكال الهندسية الثلاثية الأبعاد في هذا الحل، وتم تطبيق مفهوم توزيع الحجم بالتساوي للقوالب الصغيرة المشكلة على شكل أنصاف كرة.