حساب نسب x إلى z (مسألة رياضيات)

نعتبر x : y يكون 1 : 5 و y : z يكون 5 : 7، ونريد حساب نسبة x : z. لفهم ذلك بشكل أفضل، دعونا نعتبر قيمة متغير واحد ونحسب القيم الأخرى بناءً على النسب المعطاة.

لنفترض أن قيمة y هي 5. إذاً، من المعطيات، نعلم أن x يكون 1 و z يكون 7، لأن x : y = 1 : 5 و y : z = 5 : 7.

الآن، لنقم بالتحقق من أن النسبة x : z تكون صحيحة عندما نأخذ قيمة معينة لـ y. نضع القيم في النسبة x : z:

إذاً، عندما y = 5:
x : z = 1 : 7

لكننا لا نريد معرفة النسبة عندما y = 5، بل عندما y : z = 5 : 7. لذا، نحتاج إلى زيادة قيمة x و z بمعامل تناسبي مع نسبة y : z.

نضرب قيم x و z في 7 (معامل z في y : z) للحفاظ على التناسب:
x = 1 * 7 = 7
z = 7 * 7 = 49

الآن، نحصل على النسبة المطلوبة x : z:
x : z = 7 : 49

لذا، إذا كانت x : y = 1 : 5 و y : z = 5 : 7، فإن x : z تكون 7 : 49.

لنقم بحل المسألة باستخدام القوانين الرياضية المتعلقة بنسب الأعداد. لنتابع:

النسبة x : y هي 1 : 5 والنسبة y : z هي 5 : 7. للبداية، يمكننا تعبير النسب بشكل عام عن طريق تعريف عوامل التناسب.

للنسبة x : y، نفترض أنها تكون x/y، وللنسبة y : z، نفترض أنها تكون y/z. يمكننا كتابة المعادلتين التاليتين:

$\frac{x}{y} = \frac{1}{5}$

$\frac{y}{z} = \frac{5}{7}$

للتخلص من الكسور، يمكننا ضرب كل معادلة في القيم المشتركة للمقامين:

للمعادلة الأولى، يمكننا ضربها في 5، وللمعادلة الثانية، يمكننا ضربها في 7:

$5 \times \frac{x}{y} = 5 \times \frac{1}{5}$

$7 \times \frac{y}{z} = 7 \times \frac{5}{7}$

الآن نقوم بالتبسيط:

$x = 1$

$\frac{7y}{z} = 5$

بعد ذلك، نقوم بضرب المعادلة الثانية في z:

$7y = 5z$

الآن، لدينا نظام معادلات يتكون من:

$x = 1$

$7y = 5z$

نحاول حل هذا النظام. إذا قمنا بجمع المعادلتين، سنحصل على قيمة z:

$7y = 5z$

$5z – 7y = 0$

تكون z = 7/5y

الآن، نستخدم هذه القيمة في النسبة x : z:

$\frac{x}{z} = \frac{1}{\frac{7}{5}y}$

التبسيط يعطي:

$\frac{x}{z} = \frac{5}{7}$

لذا، نستنتج أن x : z يكون 5 : 7.