حساب نسبة الفائدة السنوية المثلى (مسألة رياضيات)

بتاريخ الأول من السنة، قام جيمس بالاستثمار بمبلغ “x” دولار في بنك براودستار في حساب يُعطي نسبة فائدة قدرها 0.5٪ كل ربع سنة. وفي نهاية السنة، دون أي إيداعات أو سحب إضافية، كان لديه “y” دولار في الحساب. إذا قام جيمس بالاستثمار نفس المبلغ في حساب يدفع فائدة سنوية، فما هي نسبة الفائدة التي يجب أن تكون ليكون لديه “y” دولارًا في نهاية السنة؟

الحل:
لحساب الفائدة السنوية اللازمة، نستخدم الصيغة التالية:

$A = P \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$

حيث:

• $A$ هو المبلغ النهائي (في هذه الحالة “y”).
• $P$ هو المبلغ الأصلي (في هذه الحالة “x”).
• $r$ هو نسبة الفائدة (التي نريد حسابها).
• $n$ هو عدد مرات دفع الفائدة في السنة (في هذه الحالة يدفع الفائدة كل ربع سنة، لذا $n = 4$).
• $t$ هو عدد السنوات (في هذه الحالة “1” سنة).

نقوم بتعويض القيم المعروفة ونحل للمجهول $r$:

$y = x \left(1 + \frac{r}{4}\right)^{4}$

الآن نقوم بحساب القيمة المطلوبة لـ $r$، وهي نسبة الفائدة السنوية. يمكن استخدام الحاسبة أو الطرق الرياضية لحل المعادلة والوصول إلى قيمة $r$ المناسبة لتحقيق الشرط المطلوب.

لحل المسألة، سنستخدم القانون المتعلق بالفائدة المركبة، والذي يُمثله النموذج التالي:

$A = P \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$

حيث:

• $A$ هو المبلغ النهائي (في هذه الحالة “y”).
• $P$ هو المبلغ الأصلي (في هذه الحالة “x”).
• $r$ هو نسبة الفائدة (التي نريد حسابها).
• $n$ هو عدد مرات دفع الفائدة في السنة (في هذه الحالة يدفع الفائدة كل ربع سنة، لذا $n = 4$).
• $t$ هو عدد السنوات (في هذه الحالة “1” سنة).

نقوم بتعويض القيم المعروفة في المسألة:

$y = x \left(1 + \frac{r}{4}\right)^{4}$

لحل هذه المعادلة، يمكننا اتباع الخطوات التالية:

1. نقوم بتوسيع القوس:
   $y = x \left(1 + \frac{r}{4}\right)^{4}$
   $y = x \left(1 + \frac{r}{4}\right) \times \left(1 + \frac{r}{4}\right) \times \left(1 + \frac{r}{4}\right) \times \left(1 + \frac{r}{4}\right)$

2. نقوم بضرب الأجزاء المتكررة معًا ونبسط التعبير:

   $y = x \left(1 + \frac{r}{4}\right)^{4}$
   $y = x \left(1 + \frac{r}{4}\right) \times \left(1 + \frac{r}{4}\right) \times \left(1 + \frac{r}{4}\right) \times \left(1 + \frac{r}{4}\right)$
   $y = x \left(1 + \frac{r}{4}\right) \times \left(1 + \frac{r}{4}\right) \times \left(1 + \frac{r}{4}\right) \times \left(1 + \frac{r}{4}\right)$
   $y = x \left(1 + \frac{r}{4}\right)^{4}$

3. نقوم بتبسيط المعادلة وتحديد قيمة $r$.

   $y = x \left(1 + \frac{r}{4}\right)^{4}$
   $\frac{y}{x} = \left(1 + \frac{r}{4}\right)^{4}$
   $\sqrt[4]{\frac{y}{x}} = 1 + \frac{r}{4}$
   $\frac{\sqrt[4]{\frac{y}{x}} – 1}{\frac{1}{4}} = r$

هذه هي القيمة التي يجب أن تكون نسبة الفائدة ($r$) حتى يصل جيمس إلى المبلغ $y$ في نهاية السنة. القوانين المستخدمة هي قانون الفائدة المركبة وقوانين الجبر لحسابات التوسيع والتبسيط.