حساب ميل الخطوط العمودية (مسألة رياضيات)

نعطيك نقطتين في النظام الإحداثي XY، حيث تكون النقطة الأولى (m، n) والنقطة الثانية (m + 2، n + k) على الخط العمودي للمعادلة x = 2y + 5. الهدف هو حساب قيمة k.

المعادلة x = 2y + 5 تمثل خطًا في النظام الإحداثي حيث المعامل الزائد لـ y هو 2، والمعامل المستقل هو 5. لحساب الميل (المعامل الزائد لـ y) للخط العمودي على هذا الخط، نقوم بتغيير المعاملين ونغير الرمز. لذلك المعامل الزائد لـ x هو -1/2.

الخط العمودي لهذا الخط سيكون لديه معامل زائد لـ y يكون عكس القيمة المعكوسة للميل. لذا، المعامل الزائد لـ y يكون هنا -2.

الآن نستخدم النقطتين المعطاة على الخط العمودي لحساب k. الفرق بين الإحداثيات الصادرة يكون هو الفرق في قيم y، إذ أن النقطة الثانية هي (m + 2، n + k). لذلك:

k = (n + k) – n

تبسيط الفرق يؤدي إلى:

k = k

لذا، قيمة k هي k ذاتها.

لحل هذه المسألة، سنبدأ بتحليل المعادلة x = 2y + 5 وفهم الخصائص الهندسية للخط الذي يمثله في النظام الإحداثي XY. بعد ذلك، سنحسب الميل (المعامل الزائد لـ y) لهذا الخط، ونستنتج من ذلك المعامل الزائد لـ y للخط العمودي عليه. بعد ذلك، سنستخدم النقطتين المعطاة (m، n) و (m + 2، n + k) على الخط العمودي لحساب قيمة k.

الخطوات:

1. المعادلة المعطاة: $x = 2y + 5$

   هذه المعادلة تمثل خطًا في النظام الإحداثي XY، حيث يكون المعامل الزائد لـ y هو 2 والمعامل المستقل هو 5.

2. حساب الميل للخط:

   الميل يُحسب بطرح المعامل المستقل لـ y من المعامل الزائد لـ x. في هذه الحالة:

   الميل = $\frac{{\Delta x}}{{\Delta y}} = -\frac{1}{2}$

   هذا يعني أن الميل للخط الأصلي هو -1/2.

3. المعامل الزائد لـ y للخط العمودي:

   المعامل الزائد لـ y للخط العمودي يكون عكس المعامل الزائد لـ y للخط الأصلي. لذلك، يكون المعامل الزائد لـ y للخط العمودي هو 2.

4. استخدام النقطتين (m، n) و (m + 2، n + k) لحساب قيمة k:

   الفرق بين الإحداثيات في اتجاه y يكون هو الفرق في قيم y. لذا:

   $k = (n + k) – n$

   تبسيط الفرق يؤدي إلى:

   $k = k$

   لذا، قيمة k هي k ذاتها.

القوانين المستخدمة:

1. قانون الميل:
   يتيح لنا حساب الميل بين نقطتين على الخط.

   $\text{الميل} = \frac{{\Delta x}}{{\Delta y}}$

2. الخصائص الهندسية للخطوط العمودية:
   إذا كان لدينا خطوطين عموديتين، فإن معاملي الميل للخطين يكونان معكوسين متبادلين.

   إذا كان المعامل الزائد لـ y للخط الأول يساوي $m$، فإن المعامل الزائد لـ y للخط العمودي عليه يكون $-\frac{1}{m}$.

3. حساب الفرق بين الإحداثيات:
   يُستخدم لحساب الفرق في الإحداثيات بين نقطتين في اتجاه محدد، في هذه الحالة اتجاه y.

   $\text{الفرق} = \text{الإحداثيات الجديدة} – \text{الإحداثيات القديمة}$