حساب معدل الفائدة: مسألة استثمار جو (مسألة رياضيات)

تستثمر جو مبلغًا معينًا من المال في سند بفائدة بسيطة، حيث بلغت قيمته 310 دولارًا في نهاية 3 سنوات و410 دولارًا في نهاية 5 سنوات. ما هو معدل الفائدة الذي استثمر به جو مبلغه؟

لنقم بحساب معدل الفائدة. لنفترض أن المبلغ الأصلي المستثمر يكون P دولارًا، والفائدة السنوية تكون r.

في نهاية 3 سنوات، يصبح المبلغ:

$A_1 = P + 3Pr$

وفي نهاية 5 سنوات، يصبح المبلغ:

$A_2 = P + 5Pr$

وفقًا للبيانات المعطاة، يكون $A_1 = 310$ و $A_2 = 410$، لذا يمكننا كتابة المعادلتين كالتالي:

$310 = P + 3Pr$
$410 = P + 5Pr$

يمكن حل هذه المعادلات للعثور على قيم P و r. لنبدأ بحل المعادلة الأولى:

$310 = P + 3Pr$

$310 = P(1 + 3r)$

$P = \frac{310}{1 + 3r}$

الآن نستخدم هذه القيمة المحسوبة لـ P في المعادلة الثانية:

$410 = \frac{310}{1 + 3r} + 5r \times \frac{310}{1 + 3r}$

الآن يمكننا حل هذه المعادلة للعثور على قيمة r، وهي معدل الفائدة. بعد حساب القيم، يمكن إعادة التعبير عن الإجابة بطريقة مناسبة.

نأمل في توضيح تفاصيل الحل لهذه المسألة الحسابية، ونستخدم القوانين المتعلقة بالفائدة البسيطة والتي تساعدنا في حساب القيم المطلوبة.

لنحل المسألة، نستخدم القانون الأساسي للفائدة البسيطة، الذي يعبر عن علاقة المبلغ النهائي (القيمة المستقبلية) بالمبلغ الأصلي ومعدل الفائدة وفترة الاستثمار. هذا القانون يأخذ الشكل التالي:

$A = P + Prt$

حيث:

• $A$ هو المبلغ النهائي (القيمة المستقبلية).
• $P$ هو المبلغ الأصلي (القيمة الرئيسية).
• $r$ هو معدل الفائدة.
• $t$ هو الفترة الزمنية.

الخطوة الأولى في حل المسألة هي كتابة معادلتين باستخدام البيانات المعطاة. لنكتب المعادلتين:

1. في نهاية 3 سنوات، $A_1 = 310$، $P$ و $t$ هما 3 سنوات، لذا:

$310 = P + Pr \times 3$

2. في نهاية 5 سنوات، $A_2 = 410$، $P$ و $t$ هما 5 سنوات، لذا:

$410 = P + Pr \times 5$

الآن سنقوم بحل هذه المعادلات للعثور على قيم $P$ و $r$، والتي تمثل المبلغ الأصلي ومعدل الفائدة على التوالي.

الحل:

1. حل المعادلة الأولى:

   $310 = P + 3Pr$

   نقوم بتجميع مصطلحات $P$ على جهة واحدة:

   $310 = P(1 + 3r)$

   نقوم بقسمة الطرفين على $1 + 3r$ للحصول على قيمة $P$:

   $P = \frac{310}{1 + 3r}$

2. حل المعادلة الثانية:

   $410 = P + 5Pr$

   نستخدم قيمة $P$ التي حسبناها في المعادلة الأولى:

   $410 = \frac{310}{1 + 3r} + 5r \times \frac{310}{1 + 3r}$

   نقوم بتجميع المصطلحات وحل المعادلة للعثور على قيمة $r$.

باستخدام هذه القيم في الحسابات، يمكن العثور على الإجابة النهائية لمعرفة معدل الفائدة الذي استثمر به جو مبلغه.